1.2.1空间中的点、直线与空间向量课件-2023-2024学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 葫芦岛第一高级中学 数学组 人教版高中数学 2023年9月 了解立体几何中的向量方法，通过建立立体图形与空间向量的联系，从几何图形到空间向量的转换中，进一步体会转化与化归思想。 一起来看看学习目标哦！ 1.点的位置向量、直线方向向量 共同打开知识的大门吧！ 如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量 如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量. 2.空间中两条直线所成的角 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|; l1⊥l2⇔<v1,v2>= ⇔v1·v2=0. 3.两条异面直线的距离 一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的 距离. 一起来看小例题！ 一、向量法判定直线位置关系 例1设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系: ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0). 解 ①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), ∴a=- b.∴a∥b.∴l1∥l2. ②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0. ∴a⊥b.∴l1⊥l2. 已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,则k=　　　.  答案 -2或-1 解析 ∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0. ∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0, ∴k=-2或k=-1. 已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(　　) A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 答案 C 二、异面直线所成的角 例2如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB, ∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA= ,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　) 答案 A 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则 三、证明线线垂直问题 例3如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2, ∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC. 证明 由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴, 在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN= CC1.求证:AB1⊥MN. 证明 设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 四、求异面直线的距离 例4已知三棱锥S-ABC中,SA=BC=13,SB=AC=14,SC=AB=15,求异面直线AS与BC的距离. 分析此题是将不易直接求解的几何体,补成一个易求解的几何体的典型例子,有时还常把残缺形体补成完整形体,不规则形体补成规则形体,不熟悉形体补成熟悉形体等.所以,把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得,故将三棱锥转化为长方体. 解 构造如图所示长方体,使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为13,14,15. 设AD=x,BD=y,SD=z, 则x2+y2=AB2,y2+z2=SB2,x2+z2=SA2, 由长方体性质,可知BD⊥平面ADSF,BD⊥平面BGCE,平面ADSF∥平面BGCE, 则BD为平面ADSF和平面BGCE之间的距离. 又AS⊂平面ADSF,BC⊂平面BGCE, 则BD的长度就是异面直线AS与BC的距离, 已知边长为a的两个正方形ABCD和CDEF成120°的二面角,求异面直线CD与AE间的距离. 解 由四边形ABCD和CDEF是正方形,得CD⊥AD,CD