21.2解一元二次方程 学案 2023--2024学年人教版九年级数学上册

21.2解一元二次方程 一元二次方程的解法 (1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 (3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 (4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。 一、选择题 1．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 2．若将一元二次方程 化成 的形式，则 的值分别是（　　） A．4，25 B．-4，25 C．-2，5 D．-8，73 3．一元二次方程的根的情况为（　　） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 4．如果，那么的值是（　　） A．0 B．2 C．0，2 D．0，-2 5．若方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 6．已知2x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 7．已知直角三角形有两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则该直角三角形的斜边长是（　　） A．10 B． C．10或8 D．10或 8．已知a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根，则=（　　） A．3 B．-3 C． D．- 二、填空题 9．若用配方法解方程时，将其配方为的形式，则　 　． 10．若实数a，b满足，则a的取值范围是　 　． 11．已知，求的值为　 　. 12．关于x的一元二次方程x2+2x-a＝0的一个根是2，则另一个根是　 　. 13．设，是方程的两根，则的值是　 　． 三、解答题 14．解方程： （1）； （2）. 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0，求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 16．已知方程 的一个根比另一个根小4，求这两个根和 的值． 17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）若此方程的两实数根满足，求的值 18．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 参考答案 1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．3 10． 11．3 12．-4 13． 14．（1）解：移项可得， ， 配方得， ， 即 两边开平方得， ， ∴ ，； （2）解：因式分解可得， ， 即或 ∴ ，. 15．解：， ， ， ， 所以无论取何值，原方程总有两个实数根． 16．解：x2+4x-2m=0 设两根为x1和x2，则△=16+8m>0， 且x1+x2=-4，x1·x2=-2m 由于|x2-x1|=4 两边平方得x12-2x1·x2+x22=16 即(x1+x2)2-4x1·x2=16 所以16+8m=16 解得：m=0 此时方程为x2+4x=0， 解得 x1=0 ， x2=−4 17．（1）解：根据题意得△＝（2k−1）2−4k2＞0， 解得k＜； （2）解：根据题意得x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2， ∵（x1−1）（x2−1）＝5， ∴x1x2−（x1＋x2）＋1＝5， 即k2−（2k−1）＋1＝5， 整理得k2−2k−3＝0，解得k1＝−1，k2＝3， ∵k＜， ∴k＝−1． 18．（1）解：关于的方程有两个实数根和． △， ． （2）解：，，， ∴ ，即， 解得：或， ， ． $$