2.2基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 新课导入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题. 新课讲解 一、基本不等式 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 有当且仅当时，等号成立. 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，可得 ，当且仅当时，等号成立. 通常称不等式为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 二、基本不等式的证明 (1)几何面积法；(2)代数法 如图，可证 因而由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为. 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 三、基本不等式的几何意义 例1 已知求的最小值. 解：∵∴ 当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值.想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 例2 已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：∵都是正数，∴ (1)当积等于定值时，∴当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. 积定和最小 例2 已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：∵都是正数，∴ (2)当和等于定值时， ∴ 当且仅当上式等号成立. 于是，当时，积有最大值 和定积最大 练习（P46） 四、基本不等式的实际应用（利用基本不等式求最值） 基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大 （小）值问题的有力工具． 例3 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得 由， 可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 例3 (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得因此 所以 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 练习（P48） 常见题型分类 题型一：对基本不等式的理解 例1 不等式+中，等式成立的条件是（ ） A． B． C． D． D 变1 （多选）已知且，则下列不等式成立的是（ ） A． B．C． D． BC 题型二：利用基本不等式比较大小 例2 设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． A 题型二：利用基本不等式比较大小 变2 若，，且，则，，，中最大的是（ ）. A． B． C． D． D ∵，，且， ∴ ∴四个数中最大的应从，中选择. 而 又∵，，∴ ∴即 ∴最大 题型三：利用基本不等式求和的最小值 例3 若，则的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D． 有最小值 B 题型三：利用基本不等式求和的最小值 变3 若，且，求的最小值． 题型四：利用基本不等式求积的最大值 例4 已知，则当取最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． B 题型四：利用基本不等式求积的最大值 变4 已知，求的最大值. ∵