1.4.2充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件 高中数学/人教A版/必修一 学科素养 通过实例明确充分条件和必要条件的概念 数学抽象 充分条件和必要条件的判定方法 逻辑推理 用集合间的关系判定充分条件和必要条件的方法 数学建模 充要条件 2 复习引入 问题: 给出以下两个命题: (1)若一个数是负数 ,则它的平方是正数; (2)若一个数的平方是正数,则它是负数. 你能说出命题(1)与命题(2)的条件与结论有什么关系吗? 提示: 两个命题的条件与结论恰好互换了. 思考 复习引入 逆命题:将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题形式的命题,“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题. 复习引入 下列“若p,则q”形式的命题,哪些命题与它们的逆命题都是真命题? 1、若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; 2、若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; 复习引入 上述命题的逆命题是: 1、若两个三角形全等,则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等。 ⇒ ⇒ 两个三角形的两角和其 中一角所对的边分别相等。 P:两个三角形全等 q: 性质定理 判定定理 都是真命题 复习引入 上述命题的逆命题是: 2、若两个三角形的周长相等,则两个三角形全等。 ⇒ ⇒/ 两个三角形的周长相等 P:两个三角形全等 q: q→p是假真命题 P→q是真命题 如何理解: (1) p是q的充分条件 由条件p 结论q, (2) p是q的必要条件 由结论q 条件p, 则条件p是结论q成立的充分条件; 则条件p是结论成立的必要条件 问题:指出下列各命题中,p是q的什么条件? (1) p:两个角是对顶角, q:两个角相等 充分不必要条件 (2) p: xy=0, q: x=0 必要不充分条件 (3) p:内错角相等, q:两直线平行 充分、必要条件 (4) p:偶数, q:能被2整除 充分、必要条件 p q ⇒ ⇍ p q ⇏ ⇐ p q ⇒ ⇐ p q ⇒ ⇐ 当p⇒q , q⇒p同时成立,p与q是什么关系? 概念 将命题 “若p,则q” 中的条件p 和结论q 互 换,就得到一个新的命题 “若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题. 充要条件 p⇔q 充分必要 充要 充要条件定义 “若p,则q”和它的逆命题 “若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q. 此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件 . 显然,如果p是q的充要条件,那么q也 是p的充要条件. 例:下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分; (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例; (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; (4)p:x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0 (a≠0) 例题讲解 (1)p q 充分不必要条件 (2) 充要条件 (3)必要不充分条件 (4)充要条件 教材P22 练习1~3 1.下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1) p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等; (2) p: ⊙O内两条弦相等,q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等; (3) p: A∩B是空集, q:A与B之一为空集. p是q的充要条件 A B C D p不是q的充要条件 p不是q的充要条件 思考: (2)(3)中p是q的什么条件? (3)p是q的必要不充分条件 (2)p是q的必要不充分条件 两条弦相等⇒两条弦所对的圆周角相等或互补 13 教材P22 练习1~3 2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. ①“两个三角形的三边相等” ③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” ②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” ④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等” 两个三角形全等 ①“两个三角形的三边成比例” ③“两个三角形的其中两角相等” ②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等” 两个三角形相似 14 充要条件的证明 p q 命题的分类 充要条件的证明 p q 已知A={x|x满足条件P},B={x|x满足条件q},下列各种情形下,p各是q的什么条件,你能举例说明吗? 充要条件的应用 (1)设A={x|0<x<1},B={x|-1<x<1} p: ”0<x<1”是q:”-1<x<1”的充分条件; (2)设A={x|x是矩形},B={x|x是正方形} p: ”x是矩形”是q: ”x是正方形”的必要条件; (3)设A={x|x是到线段AB两端距离相等的点}, B={x|x是线段AB垂直平分线上的点} p: ”x是到线段AB两端距离相等的点”是q: ”x是到线段AB