重难专题07 将军饮马之一点两线与两点两线模型-2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破 专题07 将军饮马之一点两线与两点两线模型 一、一点两线模型 条件：点 P是∠AOB 内部一定点，在OA上找一点 M，在 OB上找一点 N，使得△PMN的周长最小。 结论：作点 P关于 OA，OB的对称点 P'，P"，连接 P'P"，分别交 OA，OB于点 M，N，此时△PMN的周长最小，最小值为 P'P"的长。 二、两点两线模型 条件：点 P，Q是∠AOB 的内部两定点，在OA上找点 M，在OB上找点 N，使得四边形PQNM周长最小 结论：作点 P，Q关于 OA，OB的对称点 P'，Q'，连接P'Q'，交 OA，OB于点 M，N，此时四边形 PQNM周长最小，最小值为P'Q'+PQ。 如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． （1）如图1，在直线AB的同一侧有两点C，D，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点． （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点． （3）如图3，在∠AOB内部有两点M，N，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，M，N四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点．（显示找点的过程） 一、单选题 1．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 2．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 4．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6 cm，则(    ) A．20° B．25° C．30° D．35° 6．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 二、填空题 7．如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是 ． 8．如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为 ． 9．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则∠MPN的度数是 ． 10．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ． 三、解答题 11．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 12．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 13．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P． (1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； (2)求证：BD＝PC； (3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数． 14．已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON=50°，则∠GOH=______； ②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10； （2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当PAB的周长最