重难专题11 轴对称有关的探究压轴题-2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破 专题11 轴对称有关的探究压轴题 在中，，点是射线上的一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过作的平行线，交直线于点连接． (1)如图甲，若，求证：是等边三角形； (2)若， ①如图乙，当点在线段上移动，判断的形状，并说明理由； ②当点在线段的延长线上移动，是______三角形． 【分析】（1）由题意可得与均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，证明，再由证明，得到，由平行线的性质可得，即可得证； （2）①由题意得和均为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，证明，再由证明，得到，由平行线的性质可得，即可得证；②由题意得和均为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，证明，再由证明，得到，从而证得，由平行线的性质可得，从而得到，即可证得结论． 【详解】（1）证明：，，， 与均为等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形； （2）①为等腰三角形， 理由如下： ，， 和均为等腰三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； ②为等腰三角形， 如图所示：   ， ，， 和均为等腰三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， 故答案为：等腰． 如图①，在中，，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合 (1)若点是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，过点作交线段于点，求证：； (3)如图③，在图①的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由 【分析】（1）先求出，进而求出，从而判断出，即可得结论； （2）先判断出，再判断出，根据判断两个三角形全等； （3）过点作交线段的延长线于点，判断出，再判断出，根据判断两个三角形全等，然后由全等的性质即可得． 【详解】（1）解：． 证明：在中，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ，， ， 是的外角， ， ， ， 在和中， ； （3）如图：过点作交线段的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ．    如图（1），在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． (1)当　　　　　时，； (2)当时，求出使的值； (3)当时， ①是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②设与交于点，探索：与的关系，并说明理由． 【分析】（1）先证为等边三角形，则当时，，即，求解即可； （2）当，点在上，点在上，证为等边三角形，则，即，求解即可； （3）当时，点在上，点在上，①分两种情况，当或时，②作于，证即可． 【详解】（1）如图（1），，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当时， ， ∴，即 ，解得， 故答案为：， （2）当，点在上，点在上，如图（2）(备用)，        ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即， 解得：， （3）当时，点在上，点在上， ，， ①当时，， ∵，∴，即，解得(不合题意,舍去)， 当时，，   即 ，解得：， 综上所述，使是直角三角形的的值是， ②，理由如下：作于，如图(3)(备用)      ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接． (1)求证： ； (2)求证：； (3)判断的形状，并说明理由． 2．如图1，等边中，点D为中点，点E为边上一动点（不与点C重合），关于的轴对称图形为． (1)如图1，当点F在上时，求证：； (2)如图2，当点F在内部时，求的度数； (3)如图3，当点F在外部，上方时，直接写出的度数． 3．如图，中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于，交直线于． (1)如图，若，分别平分和，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，，求的长； (3)如图，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．用含，的式子表示 4．如图1，在中，，，点P在线段上（不与点B、点C重合）运动，以为腰在上方作等腰直角，，于点E，且与交于点M． (1)求证：； (2)如图2，交于点N，连接，证明：． 5．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (1)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法