专题04 一元二次方程（难点）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

专题04 一元二次方程（难点） 一、单选题 1．关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 2．对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 3．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 4．下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．13 6．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，则有一种围法 B．若，则有一种围法 C．若，则有两种围法 D．若，则有一种围法 7．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，，则 ④满足的整数解共有8个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n，a是常数，（    ） A．若，则点A在点B，C之间 B．若，则点A在点B，C之间 C．若，则点C在点A，B之间 D．若，则点C在点A，B之间 10．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（    ） ①化简一共有8种不同的结果； ②的最大值是5； ③若，（为正整数），则当时，； ④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．已知a，b是方程的两个根，则的值 ． 12．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则因式分解的结果是 ． 13．对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 14．已知m是方程式的根，则式子的值为 ． 15．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 16．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ． 17．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 18．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 ． 三、解答题 19．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 20．如图，点D为等边边上一点，点E为射线上一点 (1)若点E在边上且，求证：； (2)若点E在线段的延长线上，连接交的延长线于点G，当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，直接写出___________. 21．已知关于x的方程． 求证：不论为何实数时，方程有固定的自然数解，并求这自然数； 设方程另外的两个根为、，求、的关系式； 若方程的三个根均为自然数，