1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 第一课时 研究距离问题 学习目标 1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式． 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 3.能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在研究距离问题中的作用. 01情景导入 PART ONE 情境导入 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ 这个问题就需要我们来研究空间中的距离。 情境导入 常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法. 思考：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 02用空间向量研究距离问题 PART ONE 空间中点到直线的距离 探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？ 如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形.因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离. 空间中点到直线的距离 设,则向量在直线上的投影向量. 在中，由勾股定理，得 思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. ∴ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离 空间中点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.因此 探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？ 空间中点到平面的距离 平行于平面的直线l到平面α的距离 如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 思考2：类似地，如何求平行于平面的直线l到平面α的距离？两个平行平面之间的距离呢？ 两个平行平面之间的距离 如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 线面、面面距离平面外一点到平面的距离 l 03新知应用 PART ONE 新知应用 题型一：点到直线的距离（平行线的距离） 1.在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，求点M到直线AD1的距离． 解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，M(0，，). ＝(－a,0，a)，＝(0，－，)， 直线AD1的一个单位方向向量 ＝(－，0，)， ||2＝a2，· ＝ a. 所以点M到直线AD1的距离d＝＝＝a. 新知应用 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点线距公式求距离. 题型一：点到直线的距离（平行线的距离） 新知应用 题型一：点到直线的距离（平行线的距离） 新知应用 题型一：点到平面的距离 3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求： (1)顶点B到平面DA1C1的距离； (2)直线B1C到平面DA1C1的距离． 解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)， A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(， 设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得， 不妨取y=1，则 . (1)向量，所以B到平面DA1C1的距离 ； 新知应用 题型二：点到平面的距离 3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求： (1)顶点B到平面DA1C1的距离； (2)直线B1C到平面DA1C1的距离． 解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)， A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(， 设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得， 不妨取y=1，则 . (2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为=(1