1.1.1 空间向量及其线性运算 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 1.理解空间向量的有关概念. 2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差. 3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律. 4.理解向量共面的充要条件，并会运用判断两空间向量是否共面. 核心素养：数学运算、数学抽象、直观想象 学习目标 这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？ 情景引入 引例1 已知F1=10N, F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的合力的大小为多少N？ F3 F1 F2 这需要进一步来认识空间中的向量 引例2 起点 终点 概念 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量 空间向量的相关概念 长度为0的向量 模为1的向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量 方向相同且模相等的向量 ∥ ∥ A B a 对于任意一个空间向量，我们都可以将其放在一个平面内研究，这时这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了. α 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合. 如图所示，已知向量a,b，以任意点O为起点，作向量 . 思考： 在同一平面α内吗？ 思考：任意两个空间向量是否可以成为同一平面内的两个向量？ b a O b a 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a － b a ＋ b 减向量终点指向被减向量终点 空间任意两个向量是共面的, 上述法则空间向量也满足. 平面向量的加法、减法的运算图及意义 三角形法则或平行四边形法则 三角形法则 空间向量的加法、减法及数乘运算的定义 ●说明：空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点 指向末尾向量的终点的向量．即： ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们 的和为零向量． ⑶两个向量相加的平行四边形法则和三角形法则在空间 仍然成立;两个向量相减的三角形法则在空间仍然成立． 空间向量加法与数乘向量有如下运算律： (1)加法交换律： ； (2)加法结合律： ； (3)数乘分配律： ； (4)数乘结合律： ． b a b a 向量加法交换律： 空间向量的运算律 A B C D D C B A E 练习 在正方体AC1中,点E是面AC’ 的中心, 求下列各式中的x,y,z. A B E C F D 空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简： (2)原式 练习 A B C D D C B A E 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值. F 练习 注意：(1)方向向量一定是非零向量 (2)一条直线的所有方向向量都互相平行 直线的方向向量 如图示，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得 我们把与直线平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 推论: 如果l为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ，其中向量 叫做直线l的方向向量. O A P l 问题：任意两个空间先能够两个都可以通过平移，移到同一平面内，那三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面。 如何判断三个空间向量共面呢？ 问题：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ 平面向量基本定理 空间向量共面的充要条件 若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，