1.1.1 空间向量及其线性运算2 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 学习目标：1分钟 这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？ 情景引入 引例1 已知F1=10N, F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的合力的大小为多少N？ F3 F1 F2 这需要进一步来认识空间中的向量 引例2 起点 终点 探究新知 在空间中,具有大小和方向的量. 1).空间向量： 探究 空间向量的概念及表示 知识要点2 2)零向量 3)单位向量 当有向线段的起点A与终点B重合时， 4)相反向量 5)相等向量 思考1：空间中任意两个向量共面吗？ 共面 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.   6)共线向量（平行向量） 知识要点2 问题 平面向量与空间向量有什么区别与联系？ （1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量. （2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同. C O A B O A P Q M N 空间向量的线性运算 想一想，向量线性运算 的结果，与向量起点的 选择有关系吗？ 你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？ A B C D A′ B′ C′ D′ 空间向量的线性运算 例： √ 例　(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是( ) √ 空间向量的线性运算及其运算律 0 解 方法一(转化为加法运算) 方法二(转化为减法运算) 空间向量的线性运算及其运算律 问题 平面中两个共线向量的充要条件是什么？ 直线的方向向量 空间向量同样适用 共面向量 平行于__________的向量叫做共面向量． 1.定义 同一个平面 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是 共面的，也可能是不共面的。 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ 如图：如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与 直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 . O A l 如果直线 平行于平面 或在平面 内,那么向量 平行于平面 . 探究思考: 对平面内任意两个不共线的向量 由平面向量基本定理可知，这个平面内 的任意一个向量 都可以写成 ，其中 是唯一确定的有序实数对. 对两个不共线的空间向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么 位置关系？ 反过来，向量 与向量 有什么位置关系时， ？ 猜想： 如果空间两个向量 不共线， 则向量 与向量 共面 存在唯一的有序实数对 使 . 2.共面向量定理： O A C B 空间两个向量 不共线，向量 与向量 共面 存在唯一的有序 实数对 使 . 证明：（1）必要性，如果向量 与向量 共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内. 使得 . 由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对 （2）充分性，如果向量 满足 ，则可选定一点O ， 作 于是 显然 都在平面 内，故 共面. 3.推论（判断点在平面内）： M α 引入空间任一点 , 可变式为 空间一点 位于平面 内 存在唯一的有序实数对 使 . 推论1：空间四点 共面 存在唯一有序实数对 使 如果我们令 则 ,其中 . 推论2：空间四点 共面 存在唯一的有序实数对 使 其中 . 例 如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量　 　　 ,　　　 , , , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC. 　 例题讲评 例2 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴ （﹡） （﹡）代入 所以 E、F、G、H共