3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 1 学习目标 1 2 掌握椭圆的定义、标准方程. 通过对标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想. 2 CONTENTS 椭圆的定义 3 椭圆的标准方程 4 CONTENTS 椭圆标准方程的推导 5 6 CONTENTS 7 例题巩固 8 CONTENTS 9 10 CONTENTS 11 12 CONTENTS 13 课堂小练 C 14 CONTENTS A 15 B 16 CONTENTS B 17 18 CONTENTS BCD 19 20 CONTENTS 21 22 CONTENTS 23 24 25 CONTENTS 26 27 小结： 回顾一下本节课学习了哪些新知识呢？ 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 28 平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的 点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫 做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. ①方程表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程， 两个焦点分别是，，且. ②方程表示焦点在y轴上的椭圆的标准方程， 两个焦点分别是，，且. 以经过椭圆两焦点，的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，，根据椭圆的定义，设点M与焦点，的距离的和等于2a. 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集. 因为，， 所以.① 化简得.② 对方程②两边平方得. 整理得.③ 对方程③两边平方得. 整理得.④ 将方程④两边同除以，得.⑤ 由椭圆的定义可知，，即，所以. 由图可知，，，. 令，那么方程⑤就是.⑥ 由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形. 这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点，的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程. 它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是，的椭圆，这里. 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点， 求它的标准方程. 解：由于椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为. 由椭圆的定义知， ， 所以，所以. 所以所求椭圆的标准方程为. 例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD， D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 解：设点M的坐标为，点P的坐标为， 则点D的坐标为. 由点M是线段PD的中点，得，. 因为点在圆上，所以.① 把，代入方程①，得，即. 所以点M的轨迹是椭圆. 例3 如图，设A，B两点的坐标分别为，. 直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是， 所以直线AM的斜率. 同理，直线BM的斜率. 由已知有， 化简得点M的轨迹方程为. 点M的轨迹是除去，两点的椭圆. 解析：因为椭圆的方程为，所以，且焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，.故选C. 1.椭圆的焦点坐标是( ) A.， B.， C.， D.， 2.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为( ) A. B. C. D. 解析：设所求椭圆方程为，则，且，解得，，故所求椭圆方程为.故选A. 3.“”是“方程表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当方程表示椭圆时，必有，所以且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选B. 4.椭圆上一点M到左焦点，的距离是2，N是的中点， O是坐标原点，则( ) A.8 B.4 C.3 D.2 解析：设椭圆的右焦点为，连接，NO，如图所示. 由椭圆的定义得，，， 又O是的中点，N是的中点，，故选B. 5.（多选）已知，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上的动点， 则下面四个结论正确的是( ) A.的最大值大于3 B.的最大值为4 C.的最大值为60° D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A、B两点，P为l上满足 的点，则点P的轨迹方程为或 解析：由椭圆方程得，，，因此，，对于A，，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，当点M为短轴的端点时，取得最大值，取，则，，的最大值为60°，故C正确；对于D，设，，，，，，即或，又由题意知，或，化简得或，故D正确.故选BCD. 解析：因为椭圆过点，所以将其代入，得， 所以，，故焦距. 6.设椭圆过点，则焦距等于____________. 解析：分析知，，由椭圆的定义，得①. 在中，②. 由①②得，所以.故椭圆C的方程为. 7.已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线 交C于A，B两点，且，则椭圆C的方程为________. 8.设，分别是椭圆