3.2.1 双曲线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 学习目标 1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 3.通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想. 双曲线的定义 双 曲 线 的 标 准 方 程 双曲线标准方程的推导过程 例题巩固 课堂小练 B B B D ABC 7或-2 8 小结： 回顾一下本节课学习了哪些新知识呢？ 1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程 一般地，平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零 常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 ， ， a，b，c的关系 双曲线也具有对称性，直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设（a为大于0的常数）. 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合： ，. 因为，， 所以.① 化简①得， 两边同除以，得. 由双曲线的定义知，，即，所以. 令，其中，代入上式，得.② 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是，的双曲线，这里. 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为. 由，，得， 又，因此. 所以双曲线的标准方程为. 解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合. 设炮弹爆炸点P的坐标为， 则，即，. 又，所以，，. 因为， 所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此. 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为. 例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且，， 半焦距，双曲线的焦点坐标为.故选B. 1.双曲线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 2.“”是“方程表示双曲线”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当时，，，方程表示焦点在y轴上的双曲线； 但当时，，，方程也表示双曲线，所以“”是 “方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选B. 解析：由已知，.又，则.根据双曲线的定义，，所以，即，所以.故选B. 3.已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A，B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为( ) A.8 B.9 C.16 D.20 4.已知双曲线.若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且，，则双曲线E的标准方程是( ) A. B. C. D. 解析：如图，由题意知.设AB，CD的中点分别为M，N，在中，，所以，，由双曲线的定义可得，即，所以，故双曲线E的标准方程为.故选D. 5.（多选）若，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且，则下列说法中正确的是( ) A. B. C.的面积是24 D.的面积是48 解析：由题意得，，则.由，得，，故A，B正确；因为，所以是直角三角形，面积，故C正确，D错误.故选ABC. 解析：依题意可知，当双曲线的焦点在x轴上时，，，所以；当双曲线的焦点在y轴上时，，，所以.综上，或. 6.若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为____________. 7.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于M，N两点，为其右焦点，则的值为___________. 解析：由双曲线的方程可知.因为M，N两点在双曲线的左支上， 所以由双曲线定义得，， 所以，而， 所以. 解析：设双曲线方程为. 由题意得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 因为，，所以， 故焦距为. 8.已知双曲线经过两点，.求该双曲线的标准方程及其焦距. 9.已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，且经过点. （1）求双曲线C的方程； （2）若，是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且， 求的面积. 解析：（1）椭圆的焦点分别为，， 设双曲线C的方程为， 则.① 又双曲线C经过点，所以.② 由①②得，或，（舍去）， 所以双曲线C的方程为. （2）由双曲线C的方程，知，，. 设，，则， 两边平方得.③ 在中，由余弦定理得.④ 由③④得. 所以的面