1.4.2 充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

数学 必修 第一册 人教A版 1.4.2　充要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 要求 课标要求 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 素养要求 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养． 情境导学 　　老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时 赴约,王五因事不能到场,老张说:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉,起来 一声不吭地走了.老张愣了片刻,又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大 怒,拂袖而去. 问题1:张三为什么走了? 答案　张三走的原因:“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”,张 三觉得自己是不该来的. 问题2:李四为什么走了? 答案　李四走的原因:“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”, 李四觉得自己是应该走的. 充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的 条件，简称 条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q 条件 充分必要 充要 互为充要 （1）若p q，则称p是q的充分不必要条件． （2）若p q，则称p是q的必要不充分条件． （3）若q，则称p是q的既不充分也不必要条件． ⇒ ⇍ ⇏ ⇐ ⇍ 延伸 充要条件 1.指出下列各组中p是q的什么条件。 ①p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； 相似不一定全等，pq；全等一定相似，qp， 所以p是q的必要要不充分条件 ② p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 矩形的对角线相等， pq ；对角线相等的四边形不一定是矩形， 也可能是等腰梯形等， qp ，所以p是q的充分不必要条件 充要条件 B 小范围 ⟹ 大范围 请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空： （1）x＝y是x2＝y2的__ ___________ 条件 （2）ab = 0是a = 0 的________________条件 （3）x2>1是x<1的__________________条件 （4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件 充分不必要 必要不充分 既不充分又不必要 充要 充要条件 教材P22 练习1~3 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等； (2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集． p是q的充要条件 A B C D p不是q的充要条件 p不是q的充要条件 思考: (2)(3)中p是q的什么条件？ (3)p是q的必要不充分条件 (2)p是q的必要不充分条件 两条弦相等⇒两条弦所对的圆周角相等或互补 教材P22 练习1~3 2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. ①“两个三角形的三边相等” ③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” ②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” ④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等” 两个三角形全等 ①“两个三角形的三边成比例” ③“两个三角形的其中两角相等” ②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等” 两个三角形相似 例.已知:圆O的半径r,圆心O到直线l 的距离为d,求证:d=r是直线l 与圆O相切的充要条件 需分别证明（１）充分性（p　　q）；　　　　　　　（２）必要性（q　　p） 证明： 如图，作OP l于点P，则OP＝d． 设p:d=r, q:直线l 与圆O相切 分析: l Q P 0 ┐ d 例题讲解 (1)充分性（p　　 q）: 若d=r,则点P在圆O上。在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ。在RtΔOPQ中, OQ>OP=r。所以,除点P外,直线l 上的点都在圆O的外部。即直线l 与圆O仅有一个公共点P。因此,直线l 与圆O相切。 (2)必要性（q p） 若直线l 与圆O相切,不妨设切点为P,则OP l.因此,d=OP=r。 故d=r是直线l 与圆O相切的充要条件。 方法归纳 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 例:已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1