1.4.2 充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 1、从集合角度理解充分条件与必要条件； 2、理解充要条件的概念； 3、能判定充要关系并证明． 学习目标 一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 记忆方法：箭尾是箭头的充分条件 箭头是箭尾的必要条件 复习回顾 充要条件的概念 充分必要 充要 新知学习 思考1:若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题,这种说法正确 吗? 提示　正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q. 思考2:记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分不必要条件,则集合A,B的 关系是什么?若p是q的必要不充分条件呢? 提示　若p是q的充分不必要条件,则A B,若p是q的必要不充分条件,则B A. 特别提醒 (1)若p⇔q,则称p与q互为充要条件. (2)若p⇒q,但q⇒/ p,则称p是q的充分不必要条件. (3)若q⇒p,但p⇒/ q,则称p是q的必要不充分条件. (4)若p⇒/ q,且q⇒/ p,则称p是q的既不充分又不必要条件. 巩固与练习 菱形 巩固与练习 巩固与练习 如：(-1)×(-2)=2>0 ⇒/ -1>0,-2>0 其实又有q⇒p,所以p是q的必要不充分条件。 巩固与练习 巩固与练习 规律方法 示 例 方法 分 析 充要条件证明方式一：(1)先证充分性; (2)再证必要性. 先证充分性：设原方程有两根x1,x2, x1<0<x2, 由韦达定理得x1x2=;由x1<0<x2, 得x1x2= ＜０，即ac<0； 再证必要性：由ac<0知 ＜０，又由韦达定理知x1x2=， 所以x1x2<0,即x1、x2一正一负. 求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 充要条件的证明 对应练习： 若a, b∈R，求证：“a>b”是“a>b”的充要条件. 提示： 无论证充分性还是必要性，都要针对a,b的正负情况进行分类证明. 示 例 方法 分 析 充要条件证明方式二：对条件进行等价变形. 若a, b, x, y∈R，求证：的充要条件是. 注意 每一步的变形都必需是等价的！ 表示“等价于”，即充要的意思 充要条件的证明 对应练习： 已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0 (预备知识：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 　　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 例 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 延伸探究　 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m|m≥9}. 2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0). 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 习题演练 习题演练 习题演练 习题演练 习题演练 课堂总结 例：下列各命题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； （其实p⇒q且q⇒/ p所以p是q充分不必要条件.） 解 （1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么）， 所以q⇒/ p，所以p不是q的充要条件. (2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理， 所以p是q的充要条件. 解 例：下列各命题中，哪些p是q的充要条件？ （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； “若q，则p”是相似三角形的判定定理， 所以它们均为真命题，即p⇔q， 解 (3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立（为什么）， 所以p⇒/ q，所以p不是q的充要条件. 例：下列