第一章 勾股定理 知识点 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理 【知识梳理】 知识点（一）：探索勾股定理 1.定理内容一《周脾算经》 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和=斜边的平方 如图：a2+b2=c2 变形：c2-b2=a2 c2-a2=b2 B 注意：【在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,若a'=b2+c2,则∠A=90 。】。 2.证明方法 “面积法”：整体面积=部分面积之和 题型考法： 1. 己知两边，求第三边（有时需分类讨论）、周长、面积等 2. 勾股定理与完全平方公式的结合 3. 以直角三角形的边作几何图形的面积 例：在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, 无图无真相 (1)若a=5,=13,∠C=90°，则b=12 (2)若a=6,b=8,则=_10或2v7 114 注意：【直角定，直接求；直角不定，分类求】。 知识点（二)一定是直角三角形吗 1.逆定理 若a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形 其中，c所对的内角为90° 当a2+b2>c2时，此三角形为锐角三角形： 当a2+b2<c2时，此三角形为钝角三角形： 当a2+b2=c2时，此三角形为直角三角形。 2.勾股数 □@b、c都是正整数 “缺一不可” ☐满足a2+b2=c2 常见的勾股数： 3,4,5 6,8,10 5,12,13 7.24,25 9,40,41 8,15,17 注意：1.3,4252： 111 3'4'5 不是勾股数 3. 求斜边上的高（等面积法） 如图，在直角三角形中 ab =ch h=ab 知识点（三）：勾股定理的应用 距离问题 1.蚂蚁爬行最短距离：长方体，圆柱，台阶，（化折为直，化曲为平） 2.木条进电梯最长距离：长方体盒子，圆柱形笔筒 214 【长方体最短距离】 例：如图，长方体的长、宽、高分别为3,4,5，求表面上点A到点B的最短 距离。 前+右 前+上 左+上 B 8 B 2 3 AB=V3+4+5 AB=V32+(4+5 AB=V42+(3+5 =√74 =√90 =√80 =3V10 =4V5 【圆柱最短距离】：注意B点的位置 B 【台阶最短距离】 20 3/4 方程思想解决问题 1. 测旗杆高度 2.引霞赴岸 3.折叠问题 4.梯子问题 5.拱桥问题 例：如图，Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC 的中点D重合，折痕为MN,则线段BN的长为4。 由题意可知：BD=3; 设BN=x,则AN=9-x, M D 由勾股定理得：BN2+BD2=DN2; B N 即x2+32=(9-x2,BN=4. 【总结】 1.从实际问题中抽象出直角三角形模型； 2.设未知数，并用未知数表示三角形的其他边； 3.列出勾股方程并解出。 414