13.4 课题学习 最短路径问题 导学案 2023—2024学年人教版数学 八年级上册

13.4 课题学习 最短路径问题 人教版数学 八年级上册 知识点梳理 1 知识点1：最短路径问题 1.最短路径问题解题根据： （1）两点的所有连线中，段线最短. （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 2.最短路径问题类型： （1）在直线上找一点，使这个点到直最短路径问题线异侧的两个点的距离（PA＋PB）最短。 如图所示，连接AB,与直线相交于一点P,根据“两点之间线段最短",可知P点就是要找的点. （2）在直线上找一点，使这个点到直线同侧的两个点的距离的和（PA＋PB）最小. 如图所示.在直线旁作以直线为对称轴的A点的对称点A',再将这一对称点A'与另一点B连接交直线于P点，这个点P即为所求的点。 （3）在直线1、2上分别求点M、N,使△PMN的周长最小. 如图所示，分别作点P关于两直线1、2的对称点P',P",连接P'P",与两直线的交点即为点M,N。△PMN周长的最小值为线段P'P"的值。 （4）在直线1、2上分别求点M、N,,使四边形PMNQ的周长最小。 如图所示，分别作点P,Q关于直线1、2的对称点P',Q',连接P'Q',与两直线的交点即为点M,N四边形PMNQ周长的最小值为P'Q'+PQ的值。 知识点2：“造桥选址”问题 解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题. “造桥选址”的根本问题就是要通过平移变换，按与河垂直的方向平移桥，使除桥外的其他路线经平移后在一条直线上， 随堂测试 2 一、单选题 1．如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）    A． B． C． D．无法确定 2．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 3．如图：两村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两村庄的距离之和最小，如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线相交只有一个交点 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 4．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（   ）      A． B． C． D． 6．如图，从地到地的最短路线是(   )    A． B． C． D． 7．如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 二、填空题 9．如图，已知空间站与星球距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最小值 ． 10．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ；    11．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．    12．如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．    13．如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 三、解答题 14．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)作关于直线对称的图形； (2)点P在直线上，当周长最小时，仅用无刻度的直尺在直线上作出点P的位置． 15．如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 16．如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．    17．如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面