17.1 一元二次方程（讲+练，四大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

17.1 一元二次方程 学习目标： 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数； 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型； 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题. 难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型. 知识点一 一元二次方程 1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如,都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。 即学即练 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） 判断一元二次方程的方法 先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是. (1) 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式， (2) 定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的， (3) 当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。 学生：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ 老师： 即学即练 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. (1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式 (2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0. (3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2. (4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数. 知识点三 一元二次方程的解(根) 1.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。 即学即练 下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解? -4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 题型一 一元二次方程的定义 例1（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 举一反三1（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 举一反三2 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列关于的方程中，是一元二次方程的是（    ）． A．（其中a、b、c是常数） B． C． D． 题型二 一元二次方程的一般形式 例2 （2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）当m 时，方程是一元二次方程． 举一反三1 （2021秋·上海杨浦·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为 ． 举一反三2 （2020秋·上海·八年级统考期中）下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B．（其中、、是常数） C． D． 题型三 一元二次方程的解 例3 （2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若是方程的一个根，则m的值为 ． 举一反三1 （2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于x的方程有一个根为零，那么