1.4.2 充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2　充要条件 学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件． 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明． 1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？ 复习与回顾 一般地，若命题“若p，则q”为真命题，即 则称p是q的充分条件，q是p的必要条件 则称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 一般地，若命题“若p，则q”为假命题，即 一般来说，数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件。 一般来说，数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件。 2.判定定理和性质定理与命题的条件有何关系？ 思考:　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 知识梳理 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充要 【练习】 辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. (　　) (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”表达的意义相同. (　　) (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件. (　　) 如何判断命题中的条件是结论的充要条件? 思考 方法：若p，则q”和它的逆命题 “若q，则p”均是真命题 √ × √ 例 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （１）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （２）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （３）p：xy＞０，q：x＞０，y＞０； （４）p：x＝１是一元二次方程ax²＋bx＋c＝０的一个根，q：a＋b＋c＝０ （a≠０） 例题讲解 （１）p q 充分不必要条件 （２） 充要条件 (3)必要不充分条件 (4)充要条件 题型 　充要条件的证明 例　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 方法归纳 充要条件的证明思路 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”： ①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p； ②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.   巩固训练　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.   证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， x＝0时y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 能力提升 当堂检测 教材P22 练习1~3 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等； (2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集． p是q的充要条件 A B C D p不是q的充要条件 p不是q的充要条件 思考: (2)(3)中p是q的什么条件？ 教材P22 练习1~3 2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. ①“两个三角形的三边相等” ③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” ②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” ④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等” 两个三角形全等