专题06 不等式恒成立问题（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题6 不等式恒成立问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题． 二、解题秘籍 (一) 与不等式恒成立问题有关的结论 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)max<A ； ③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0； ④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0； ⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max； ⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立,则f(x) max < g(x) min. 【例1】（2024届重庆市拔尖强基联盟高三上学期九月联考）已知函数是定义域上的奇函数，当时，的最小值为4. (1)求实数的值; (2)令，对，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1）根据题意可知，对应定义域内任意，函数满足， 即， 即，解得； 所以， 当时，， 即，解得； 所以，. （2）由（1）可得， 令，，则， 易知当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以； 令，则可化为， 因为二次函数的对称轴为， 所以函数在上单调递增， 又对，都有，即即可； 所以， 即，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. (二)把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题 若给出函数单调性,求参数范围,可把问题转化为恒成立问题,若可导函数 在上是增（减）函数,则时（或）恒成立. 【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期开学测试）已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数在内单调递减，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 因为， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 化为一般式为：； （2）， 因为函数在内单调递减， 所以当时， 恒成立，即恒成立， 设，， 即当时，恒成立， 当时，，当时，显然； 当时，要想时，恒成立； 因为，所以只需； 当时，因为，的对称轴为， 所以时，恒成立. 综上所述：实数的取值范围为. (三)把二元不等式恒成立问题转化为函数单调性问题 对于形如时不等式恒成立问题,可构造增函数来求解. 基本结论： (1)“若任意,,或对任意,,则是增函数； (2) 对任意,,则是增函数； 【例3】（2024届重庆市渝北中学高三上学期8月月考）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若任意、且，都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）解：当时，，其中， 则，令，解得或， 又因为，所以， 列表如下： 2 0 单调递减 极小值 单调递增 因此有极小值，无极大值. （2）解：因为，， 所以，其中， 对、且，不妨设，则， 得到，化为， 设且函数的定义域为， 所以在为增函数， 即有对恒成立，即对任意的恒成立， 设，其中，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以最大值，因此实数的取值范围是． (四)形如“若,则”的恒成立问题 求解此类问题的思路是：先确定是使的参数的取值范围,当,由为增函数及可得恒成立,当时确定存在,使得,,递减,即时,故原不等式不恒成立. 【例4】函数的图像与直线相切. (1)求实数a的值； (2)当时,,求实数m的取值范围. 【解析】 (1),设切点为, 所以有,因为是切线, 所以有, 设,显然当时,单调递增,所以有, 当时,,所以无实数根, 因此当时,方程有唯一实数根,即, 于是有,因此有； (2)令,则在恒成立 . 若,即时,当时,由得,所以在单调递增,又,所以在恒成立；当时,所以.所以在恒成立. 若即时,,则存在,使得在单调递减,则当时,矛盾,舍 综上所述,的取值范围时. (五)根据不等式恒成立求整数参数的最值 此类问题通常可分类参数，把问题转化为（）， 的形式，有最小（大）值，但无法求出，只能引入导函数的隐零点，估计的范围，再确定整数 的最大（小）值. 【例5】（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值. 【解析】（1）根据题意可得， 若