专题05 构造函数证明不等式（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题5 构造函数证明不等式 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的． 二、解题秘籍 (一) 把证明转化为证明 此类问题一般是有最小值且比较容易求,或者有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围 【例1】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数. (1)求证：当时，； (2)求证：. 【解析】（1）证明：因为，则，， 当时，，，，函数单调递减， 则成立； 当时，令，则， 因为函数、在上均为减函数， 所以，函数在上为减函数， 因为，， 所以存在，使得， 且当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 而，所以， 又因为，所以存在，使得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 因为，所以，， 所以，对任意的时，成立， 综上，对任意的恒成立. （2）证明：由（1），对任意的，，则， 即， 对任意的，， 所以，，则， 所以， 从而可得， 上述两个不等式相加可得 ， 所以，， 又由（1），因为， 则， 可得， 当且时，， 所以，，即， 所以，当时，， 从而有， 上述两个不等式相加得： ， 所以，， 当时，，即， 所以，对任意的，， 因此，. (二) 把证明 转化为证明 此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式. 【例2】（2024届广东省河源市高三上学期开学联考）已知函数，，其中. (1)求过点且与函数的图象相切的直线方程； (2)①求证：当时，； ②若函数有两个不同的零点，，求证：. 【解析】（1）， 设切点的坐标为， 则切线方程为， 因为切线过点， 所以，解得， 所以切线方程为. （2）①令，， 令，则， 当时，， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，； ②， 若，，则在上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意； 若，， 令，因为，，且， 当时，，所以在上单调递增， 又因为当时，； 当时，，又因为， 所以恰有一解， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以为函数的唯一的极大值点， 因为当时，， 当时，， 所以函数有两个不同的零点，等价于， 即， 不妨设，当，，所以， 由（1）得，直线与函数切于原点得：当时，， 因为，所以当时，结合①中有 ， 令，即当时，， 所以一定存在两个不同的根，设为，， 因为，所以， 又因为，位于单调递减区间， 所以，同理， 所以，所以， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以. (三) 把证明 转化为证明 有时候把证明 转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有. 【例3】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【解析】（1）由题意可得. 则时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以. 因为，所以. 要证，即证，即证. 设，则. 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 故. 设，则. 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 故. 因为，且两个最值的取等条件不同， 所以， 即当时，. (四) 把证明转化为证明 若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式. 【例4】已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)证明：当时,． 【解析】 (1)由已知得,, 要使函数在区间上单调,可知在区间上单调递增, 令,得,即, 解得,（）, 当时满足题意,此时,在区间上是单调递增的,故的最在值为. (2)当时,要证明,即证明, 而,故需要证明. 先证：,（） 记, , 时,,所以在上递增, , 故,即. 再证：,（） 令, 则则, 故对于,都有,因而在,上递减, 对于,都有, 因此对于,都有. 所以成立,即成立, 故原不等式成立. (五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式 此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有： ①去分母,把分数不等式转化为整式不等式； ②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式； ③不等式为类型,