第四章数列 单元测评-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列 中, , ,则 ( ) A. 2 022 B. C. 2 021 D. 2.在正项等比数列 中, ,则 ( ) A. B. C. D. 3. 在等比数列 中, ,且 , , 成等差数列,则 的最小值为( ) A. B. C. 1 D. 4.已知 为数列 的前 项和,若 , ,则 ( ) A. B. C. D. 5. 已知数列 满足 ,则 ( ) A. 64 B. 128 C. 256 D. 512 6. 数列 , , , , ,…的前 项和为( ) A. B. C. D. 7.已知数列 满足 ,在 , 之间插入 个1,构成数列 ,1, ,1,1, ,1,1,1, , ,则数列 的前100项的和为( ) A. 178 B. 191 C. 206 D. 216 8. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则数列 的通项公式是( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,公差 ,且 ,则下列说法正确的有( ) A. 是数列 中的最大项 B. 是数列 中的最大项 C. D. 满足 的 的最大值为13 10.已知数列 的前 项和 ,数列 是首项和公比均为2的等比数列,将数列 和 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 ,则下列结论正确的是( ) A. B. 数列 中 与 之间共有 项 C. D. 11.下列说法正确的是( ) A. 已知数列 是等差数列,那么数列 一定是等差数列 B. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的值为24 C. 已知等差数列 与 的前 项和分别为 与 ,若 ,则 D. 设 为等差数列 的前 项和, .若 ,则 的最小值是 12. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10, 称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16, 称为正方形数,记三角形数构成数列 ,正方形数构成数列 ,则下列说法正确的是( ) A. B. 1 225既是三角形数,又是正方形数 C. D. 对任意 , ,总存在 , ,使得 成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 写出一个通项公式 ,使你写出的数列 具有性质①②： ; 为递减数列. 14. 已知 为单调递减的等差数列 的前 项和,若数列 的前 项和 ,则下列结论正确的有 .（填序号） ① ② ③ ④当 或 时， 取得最大值 15. 若数列 满足 , , ,则 . 16.已知公差不为0的等差数列 , 是其前 项和.若 , ,且 ,则公差 . 四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）已知等差数列 的前 项和为 ,数列 是等比数列, , , , . （1） 求数列 和 的通项公式; （2） 若 ,设数列 的前 项和为 ,求 . 18. （12分）已知数列 满足 , . （1） 证明：数列 为等比数列; （2） 当 为偶数时,求数列 的前 项和 . 19. （12分）已知公差不为0的等差数列 中, 且 , , 成等比数列. （1） 求数列 的通项公式; （2） 求数列 的前 项和 . 20. （12分）观察下面三个等式： 第1个： ,第2个： ,第3个： . （1） 按照以上各式的规律,写出第4个等式; （2） 按照以上各式的规律,猜想第 个等式（ 为正整数）; （3） 用数学归纳法证明你的猜想成立. 21.（12分）在 , 这两个条件中选择一个,补充在下面问题中,并给出解答. 已知数列 的前 项和为 ,满足 , ;又知正项等差数列 满足 ,且 , , 成等比数列. （1） 求 和 的通项公式; （2） 证明： . 22. （12分）正项数列 的前 项和 满足: . （1） 求数列 的通项公式 ; （2） 令 ,数列 的前 项和为 ,证明:对于任意的 ,都有 . 1. B [解析] , , 数列 是首项为1,公差为1的等差数列, , , .故选 . 2. A [解析] 是等比数列, , , , .故选 .