第四章数列单元检测试卷-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列 是等比数列， 是1和3的等差中项，则 ( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 在等差数列 中，已知前21项和 ，则 的值为( ) A. 7 B. 9 C. 21 D. 42 3. 在等差数列 中， ， ，当其前 项和取得最大值时， ( ) A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 4. 已知数列 是以2为首项，1为公差的等差数列， 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ( ) A. 1 033 B. 1 034 C. 2 057 D. 2 058 5. 用数学归纳法证明 能被31整除时,从 到 添加的项数为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构， , , , 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中 , , , 是脊， , , , 是相等的步，相邻桁的举步的比分别为 , , , ,若 , , 是公差为0.1的等差数列，直线 的斜率为 ，则 ( ) 图1 图2 A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 7. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ， .若数列 的前 项和为 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 8. [2023新高考Ⅰ]记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 等差数列 的前 项和为 ，公差 .若 ，则以下结论一定正确的是( ) A. B. 的最小值为 C. D. 存在最大值 10. 已知数列 ，1，2，3，5， ，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记 为数列 的前 项和，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 11. 已知等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 , ，记 的前 项积为 ，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 12.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则下列说法正确的是( ) A. 数列 为递增数列 B. 和 均为 的最小值 C. 存在正整数 ,使得 D. 存在正整数 ,使得 三、填空题:本题共4小题. 13. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 . 14. 若等差数列 的前 项和为 ,且 , ,数列 满足 ，且 ,则数列 的通项公式为 . 15. 设数列 的前 项和为 ,若 , , ,则 , . 16. 已知 为正偶数，用数学归纳法证明“ ”时，第一步的验证为 ；若已假设 且 为偶数 时等式成立，则还需要用归纳假设证 时等式成立. 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 从条件 ， ， ， 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答. 已知数列 的前 项和为 ， ， . （1） 求数列 的通项公式； （2） 若 ， ， 成等比数列，求正整数 的值. 18. 设 是等差数列， ,且 , , 成等比数列. （1） 求 的通项公式； （2） 记 的前 项和为 ,求 的最小值. 19. 已知数列 和 满足 , , , （1） 证明： 是等比数列， 是等差数列； （2） 求 和 的通项公式. 20. 已知等比数列 满足 . （1） 求 的通项公式; （2） 记数列 的前 项和为 ,证明：当 时, . 21. 已知等比数列 满足 , . （1） 求数列 的通项公式; （2） 设 ,求数列 的前 项和 . 22. 已知数列 的前 项和为 ,且 . （1） 求数列 的通项公式; （2） 设 ,求使 对任意 恒成立的实数 的取值范围. 1. C [解析]因为 是1和3的等差中项， 所以 ，即 . 由等比数列 的性质可得 . 2. C [解析] 等差数列 的前21项和 ， . 由等差数列的性质可得 ， 则 .故选 . 3. A [解析]依题意， ，即 ， ，即