13.3.2 等边三角形 导学案 2023—2024学年人教版数学八年级上册

13.3.2 等边三角形 人教版数学 八年级上册 知识点梳理 1 知识点1：等边三角形的概念 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 知识点2：等边三角形的性质 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 注意： 等边三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和定理可求得它的每一个内角都等于60°, (1)等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴. (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 知识点3：等边三角形的判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形. 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 判定等边三角形时常用的方法： 已知三角形三边关系：三条边都相等的三角形是等边三角形; 若已知三角形三角关系：三个角都相等的三角形是等边三角形; 已知三角形是一个等腰三角形：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点4：含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质是用角的特殊性揭示了直角三角形中直角边与斜边的数量关系，利用此性质，必须满足两个条件： (1)在直角三角形中； (2)有一个锐角为30°,二者缺一不可. 随堂测试 2 一、单选题 1．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 2．如图：在中，，，，则等于（    ）      A． B． C． D． 3．在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（    ）    A．12 B．11 C．10 D．9 5．如图，平分，，于D，若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，是等边三角形，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．8 B．9 C．13 D．15 7．如图，M，A，N是直线l上的三点，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，移动到N点停止，则在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）    A．直角三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形 B．直角三角形——等腰三角形一一直角三角形——等边三角形 C．等腰三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形 D．等腰三角形一一直角三角形——等边三角形——直角三角形 8．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，，，，则的周长是 ． 10．如图，在中，，，，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交于点F，则的长为 ．    11．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，若，当时，则的度数 ；当时，则的度数为 （用表示）．    12．如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．    13．如图，等边的周长为1，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则，，，…，的周长和为 ．    三、解答题 14．如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．    15．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 16．下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．    求作：，使得． 作法：如图2， ①在直线上取点； ②分别以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③作直线，交直线于点； ④连接． 为所求作三角形． 根据小明的设计，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)写出证明过程和依据． 证明：连接． ∵， ∴是　　　　三角形． ∴． ∵　　　， ∴点B，