北京市东直门中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷

2023-2024学年高三开学测 数学 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知疾合M=-2-1012头.N=-x-620吲，则MnN={) A.{-2,-1,0,} B.{0,1,2} c.{-2 D.2 2已知z=- 2+2i ,则z-z=（) A.-i B.i C.0 D.I 3.已知向量a=(1,1),6=(1,-).若(a+2)1(a+).则() A1+H=】 B.2+H=-1 C.=1 D.Au=-1 4.已知a=ei,b=ln2c=5in3则 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b +ya>.C:+y=1的离心常分别为g,马 则a=() A25 B.5 C.5 D.6 6.过点(0，-2)与圆x2+)广-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=() A.1 B. C. D.6 4 4 4 第1页共6页 扫描全能王创建 7.己知不共线的两个非零向量a,b,则“a+b与a-b所成角为纯角”是“a<创”的 A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8双曲线父y 的线后尔=(>0，b>0)的左、右焦点分别为R、R.过乃作其中一条新近线的 垂线，垂足为P,已知P明=2，直线P听的斜率为2 ,则双曲线的方程为() A. 84 48 D.y =1 24 9.己知正方体ABCD-ABGA的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出 下列三个命题： ①若点P总满足P0⊥DG,则动点P的轨迹是一条直线： ②若点P到直线B服与到平面CD0G的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线： ③若点P到直线D0的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆. 其中正确的命题个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 10.李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数 A(0=A(0)e",其中k为常数.己知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用 户超过50000名至少经过的天数为（本题取1g2=030) A.31 B.32 c.33 D.34 第2页/供6重 扫描全能王创建 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. .在2x- 的展开式中，x项的系数为一 12.在△ABC中，b=5,且 如=5c=则0、一c= 6 13.已知函数∫(x)=cosr-1(>0)在区间[0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围 是 14已知函数内-+1x行0若-0，则不等式/四<2的解集为 若∫)恰有两个零点，则k的取值范围为.一.二 15.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.古希腊 数学家Pappus(约300~350前后)借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以 角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点：取线段AB的三等分点O,D:以B为焦 点，4，D为顶点作双曲线H.双曲线H与弧AB的交点记为E,连接CE,则∠BCE=∠ACB. ①双曲线H的离心率为 ②若ACB=,ACI=3V2.CE交AB年点P, 则OPI= 第3页共6页 扫描全能王创建 四、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 16.(本小题13分) 如图.在长方体ABCD-ABCD中，侧面ABBA是正方形，且AB=2N反，AD=4,点 E为BC的中点，点F在直线AD上 (I)若CF,平面A4E,求证：CF!平面ME: (Ⅱ)求二面角A-AE-D的余弦值. 17.(本小题13分) 已知/)=sinx+)+,其中|9<号 (1)若原=号，求P的位 (Ⅱ)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求∫(x)的单调递增区间. 条件0：a=5,9=- 3 条件@：a=-1,0君 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分， 扫描全能王创建 18.(本小题14分) 根据Z市2020年人口将查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程 度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受牧育程度 T大学 大学 小学初中高中 硕士 性别 未上学 期士 专利 本科 研究生 研究生 男 0.00 0.030.140.110.070.110.03 0.01 女 0.01 0.0410.10.110.080.120.03 0.00 合计 0.01 0.07j0.250.220.150.230.060.01 ①已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占的比例约为85%，从全市 常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为 硕士研究生的概率： (四)从