12.2 三角形全等的判定（讲+练，8题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

12.2 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定方法 1、三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。 3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。 4、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 注：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角(SSA)和角角角(AAA)不能作为判定两个三角形全等的方法。 二、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤 1、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2、根据三角形判定公理，搞清还需要什么； 3、正确书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 注：（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段：③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 三、选择恰当的方式判定三角形全等 1、已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)； 2、已知条件中有两边对应相等，可找：①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)； 3、已知条件中有一边一角对应相等，可找：①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)。 题型一 用SSS证明三角形全等 【例1】直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【变式1-2】如图，点、在上，且，、，与交于点O．则下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】如图，，如果，那么的长是 ．    【变式1-4】已知：如图，中，，为的中点．求证：平分．    题型二 用SAS证明三角形全等 【例2】如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交，于点F，G．    （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【变式2-3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接．    （1）求证：∥； （2）若，连接，平分，求的度数． 【变式2-4】如图，M，N分别是正五边形的边，上的点，且，交于点P．    （1）求证：． （2）求的度数． 题型三 用ASA(AAS)证明三角形全等 【例3】如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图，要测量小金河两岸相对的A、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点A、、在一条直线上．若测量的长为28米，则A、两点之间的距离为 米．    【变式3-2】如图，要测量河岸相对两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使在同一直线上，可以证明得，因此测得的长就是的长，判断的理由是 ．    【变式3-3】如图，，求证：．    【变式3-4】如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，．    题型四 用HL证明三角形全等 【例4】如图，在和中，，，则证明全等于的方法是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】已知，如图，，，，，，DE与AC的延长线交于点F，若，求 ．      【变式4-2】如图，已知，．则证明的理由是（    ）      A． B． C． D． 【变式4-3】如图，、相交于点O，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【变式4-4】如图，，，，，，垂足分别是，，求证：    （1）≌； （2）． 题型五 全等三角形综合问题 【例5】如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形（        ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式5-1】等腰三角形“三线合一”是应用