12.3 角的平分线的性质（讲+练，4题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

12.3 角平分线的性质 一、作已知角的平分线的方法 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。 作法（如图）： 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N； 2、分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C； 3、画射线OC。射线OC即为所求。 二、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、证明一个几何命题的步骤 1、明确命题中的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 题型一 角平分线的性质定理 【例1】如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-1】如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，平分，交于点D，若，则的面积为 ．    【变式1-3】如图，在中，，平分交于点，为的中线，若，，则的面积为 ．    【变式1-4】如图，在中，于，点在边上，连接．    （1）求证：． （2）若，且的面积等于24，求的长． （3）若，直接写出线段的数量关系：________． 题型二 角平分线的判定定理 【例2】如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，交于点D，点D到的距离相等．求证：．    【变式2-2】如图，四边形中，，E是的中点，平分．    （1）求证：AE平分． （2）求证：． 【变式2-3】如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线．    【变式2-4】如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．求证：    （1）； （2）平分． 题型三 角平分线性质的实际应用 【例3】如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式3-1】一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式3-2】如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（  ）    A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式3-3】如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式3-4】如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 题型四 作角平分线（尺规作图） 【例4】如图，在中，，，．以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，则的面积是（   ）      A． B． C． D． 【变式4-1】阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 【变式4-2】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【变式4-3】如图，点三点在同一直线上，．    （1）用直尺和圆规作出的平分线：（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果射线分别表示从点出发的东、西两个方向，那么点在点的___________方向． 【变式4-4】作图： 如图，，按以下步骤使用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线； ②在上任意画出点E（不与点A重合）； ③连接．    问题： （1）说明平分的理由； （2）判断与的数量关系，并说明理由．（提示：为说明方便，可直接在尺规作图后的图中添加字母或线段） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 12.3 角平分线的性