第4章 4.4 数学归纳法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #44数学归纳法 学业标准 素养目标 1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学 1.了解数学归纳法的原理.（难点、易混点） 抽象的核心素养 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命 2.通过数学归纳法的应用，培养学生逻辑推 题.（重点、难点） 理的核心素养。 课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新知·素养初成 教材梳理】 导学数学归纳法 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自 行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下. 间题D试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ [提示]①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆 倒下 向题2 利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ [提示] 一些与正整数n有关的问愿： ◎结论形成 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (I)证明当n=no(o∈N)时命题成立： (2)假设当n=kk≥：k∈N*时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 根据(1)2)就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数 学归纳法。 [基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可.() (2)数学归纳法证明3≥n2(n≥3，n∈N),第一步验证n=3.( (3)设S=Ik+1k十1+Ik十2+…+lk十k,则S+1=1k+1k十1+1k+2++1(k十1) +(k+1)() (4)数学归纳法可以证明任意等式.() 答案1)×(2)√(3)×(4× ·独家授权侵权必究。 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12m(n一3)条时，第一步应验证n等于() A.1 B.2 C.3 D.4 解析边数最少的凸n边形是三角形，故选C 答案C 3.用数学归纳法证明“1十a十a2+…十a+1=1-an+21一a(a≠1，n∈N4)”，在验证 n=1时，等式左边是() A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a 解析当n=1时，左边=1十a+a2故选C 答案 C 4.用数学归纳法证明1十2十22++2m-1=2一1(n∈N的过程如下： (1)当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立. (2)假设当n=k∈N)时等式成立，即1十2+22+…+2-1=2-1，则当n=k+1时，1 +2十22+…+2k-1+2=1-2k+11-2=2+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由此可知 对于任何n∈N,等式都成立.上述证明，错误是 解析本题在由n=k成立证明n=k十1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上 归纳假设，这与数学归纳法的要求不符。 答案未用归纳假设 丫课堂案关键能力·互动探究 /蓝规律·怪方法·素养樊丹 题型一用数学归纳法证明等式 例用数学归纳法证明：1×22+2×32+3×42++n+1)2=n(n+1)12(3m2+11n +10),其中n∈N [自主解答证明①当n=1时，左边=1×22=4， 右边=1×(1+1)12×(3×12+11×1+10)=4， 所以左边=右边，等式成立， ②假设当n=k≥1，k∈N时，等式成立， 即1×22+2×32+3×42+…+k(k+1)2= k(k+1)12(32+11k+10), 那么当n=k十1时， 1×22+2×32+3×42++k+1)2+(k+1)(k+2)2 =k(k+1)1232+11k+10)+(k+1)k+2)2 =k(k+1)123+5)+2)+(k+1)k+2)2 ·独家授权侵权必究。 享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 =(k+1)(k+2)1232+5k+12k+24 =(k+1)(k+2)12[3(k+1)2+11k+1)+10] 即当n=k十1时，等式也成立， 综上，对任何n∈N,等式都成立. [规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清取第一个值时等式两端项的情况；二是弄清从 n=k到n=k十1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n =k十1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n=k十1时证明目标的表 达式进行变形. [触类旁通] 1.用数学归纳法证明：1+3×2十5×22+…十(2n-1)×20-1=2(2n-3)+3(n∈N) 解析证明(1)当n=1时，左边=1，右边=2(2一3)十3=1，左边=右边，所以等式成 立 (2)假设当n=kk∈N)时，等式成立，即