第3章 3.2.2 第1课时 双曲线的几何性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(教师用书)

亨学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 #3.2.2双曲线的几何性质 学业标准 素养目标 1.掌握双曲线的几何性质.（重点） 2.能够根据双曲线的标准方程画出双曲线的 通过研究双曲线的几何性质及通过运用双曲 图形.（重点） 线的方程与性质解决问题，提升数学抽象、 3.能用双曲线的几何性质解决一些简单的问 逻辑推理及数学运算素养 题.（重点、难点） 第1课时双曲线的几何性质 /课前案必备知识·自主学习 /通数材·理新知·套养初成 「教材梳理 导学双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线 观察图示，探究下面问趣 间题) 从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围 限制？ [提示]有限制，因为x2a2≥1，即x2≥a2,所以x≥a或x≤一a. 洞题2观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？若是，对称轴是哪条直线？是否是中 心对称图形？若是，对称中心是哪个点？ [提示]关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称 中心，又叫做双曲线的中心， 回题3双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？ [提示]不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准影式下，坐标轴 才是双由线的对称轴，此时双由线与坐标轴的交点是双曲线的顶点. ◎结论形成 1.双曲线的几何性质 标准方程 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) y2a2-x2b2=1(a>0,b>0) ◆独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B 图形 F2 范围 x≥a或x≤一a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心： 原点 顶点 -a,0),(a,0) (0,-0，(0,① 性 质 轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b 离心率 e=ca>I 渐近线 =±b y=士abx 2.等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线。 (2)性质：在双曲线方程x2a2-y2b2=1中，如果a=b,那么方程可化为之-2=@2， 此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a,且两条渐近线相互垂直. 「基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)双曲线x2a2-y2b2=1与2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的形状相同.（() (2)双曲线x2a2-2b2=1与y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同.() (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.() (④离心率是2的双曲线为等轴双曲线.() 答案(1)√(2)×(3)×(4√ 2.(多选)双曲线x225-y29=1的顶点坐标是() A.(5,0) B.(0,±3) C.(-5,0) D.(±4,0) 答案AC 3.双曲线32-y2=3的渐近线方程是() A.y=±3x B.y=±13x Cy=±3x D.y=±3)3x 解析双曲线标准方程为x2一y23=1 ∴.a=1,b=3,渐近线方程为y=±3x 答案C 4.(2022徐州高三期末)若双曲线C:x2a2-y2b2=1caws4aco1(a>0,b>0)的离心 ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城 品牌书店·知名教数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 率为2，则C的两条渐近线的夹角等于 解析因为双曲线的离心率为e=ca=2,所以c=2a, 又因为c2=a2+b2,所以2a2=a2+b2,解得a=b, 所以双曲线的一条渐近线为y=x,倾斜角为π4，所以两条渐近线的夹角等于2 答案π2 课堂案关键能力·互动探究 /草规律·悟方法·素拳塑开 题型一双曲线的几何性质一题多变 例求双曲线9y2一4x2=一36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐 近线方程 [自主解答]双曲线的方程化为标准形式是x29-y24=1, .a2=9,b2=4,.a=3,b=2,c=13 又双曲线的焦点在x轴上， ∴，顶点坐标为（一3,0），(3,0)， 焦点坐标为（一13,0），(13,0)， 实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离心率e=ca=13)3, 渐近线方程为y=+23x 「母题变式] (变条件)求双曲线m2-m2=mm(m>0,>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、 顶点坐标和渐近线方程。 解析把方程x2-四y2=mmm≥0，n>0)化为标准方程为x2m一y2n=1(m>0,n>0), 由此可知，实半轴长a=m, 虚半轴长b=n,c=m十n, 焦点坐标为(m十n,0),(一m十n,O), 离心率e=ca==m, 顶点坐标为（一m,0),(m,O), 所以渐近线方程为y=土，即y=±mx [规律方法]已知双曲线方程求其几何性质时，若