第3章 3.1.1 椭圆的标准方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(教师用书)

#3．1.1　椭圆的标准方程 学业标准 素养目标 1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养学生的数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象的核心素养． [教材梳理] 导学1　椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖． 　若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？ [提示]　线段F1F2. 　若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？ [提示]　不是线段，是椭圆． ◎结论形成 把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于__常数(大于F1F2)__的点的轨迹叫作椭圆，__两个定点F1，F2__叫作椭圆的焦点，__两个焦点间的距离__叫作椭圆的焦距． 导学2　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 __＋＝1__(a>b>0) __＋＝1__(a＞b＞0) 焦点 (－c，0)与(c，0) __(0，－c)与(0，c)__ a，b，c的关系 c2＝__a2－b2__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　　) (3)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　) (4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　C 3．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 解析　由a2＞a＋6＞0，得a＞3或－6＜a＜－2. 答案　(－6，－2)∪(3，＋∞) 4．(2022·泰州高二统考)已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则P点到另一个焦点的距离为________． 解析　由＋＝1知长半轴长a＝5，∴2a＝10， ∴点P到另一个焦点的距离为2a－7＝10－7＝3. 答案　3 题型一　求椭圆的标准方程一题多解 　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. [自主解答]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以 解得 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 依题意，有解得 由a>b>0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 依题意，有 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为＋＝1. [素养聚焦] 本题通过考查椭圆的标准方程的求法，提升学生直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养． [规律方法] 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 　(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n). (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． [触类旁通] 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)(2022·扬州大学附属中学校考)与椭圆＋＝1有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　因为椭圆＋＝1的焦点坐标