第3章 3.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的综合应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册苏教版(教师用书)

令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时基本不等式的综合应用 学业标准 素养目标 1.借助基本不等式求最值，提升数学运算、 1.会用基本不等式求简单的最大（小）值问题， 逻辑推理等核心素养， 2.会用基本不等式解决实际问题 2.通过基本不等式的实际应用，培养数学建 模、数学运算等核心素养 /课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新知·素养初成 [教材梳理] 导学1基本不等式求最值 阿圈(1)已知x>0,求函数y=x2十5x十红的最小值： (2)已知0<x<13,求函数y=x(1一3x)的最大值. 提示：(1)：x>0,y=x2+5x十4x=x+4x+5≥24+5=9， 当且仅当x=纸即x=2时等号成立. 故y=x2+5x十4(x>0)的最小值为9 (2)0<x<13,.1-3x>0 y=x(1-3x)=13·3a1-3x) ≤13f3x+(1-3x）2)2=112 当且仅当3x=1一3x,即x=16时，等号成立. ∴.当x=16时，函数取得最大值112 ◎结论形成 已知a,b都是正数，则有： 和定积最大 若a十b等于定值S,那么当a=b时，积ab有最大值14g 积定和最小 若ab等于定值P,那么当a=b时，和a十b有最小值2P 导学2几个重要不等式 间题当a,b>0时，试比较211b,ab,a+b2,a2十b22)的大小关系 提示：采用作差法可以比较这些代数式的大小。 ©结论形成 当a,b>0时，有211b≤ab≤a十b2≤a2十b22),当且仅当a=b时等号成立.其中211b, ab,a十b2,a2十b22)分别叫做正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平 均数 ◆独家授权侵权必究· 令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)对任意a,b∈R,a2+b2≥(a+b)22均成立.() (2)若x>1,则x十1x-1≥1.(） (3)a,b异号时，ba+ab≤-2.() (4)当x≥2时，x+1x的最小值为2.() 答案(1)√(2)√(3)√(4× 2.已知0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为() A.12 B.34 C.23 D.25 解析0<x<1,.1一x>0, 则x(3-3x)=3[x(1-x]≤3×aws4 alco1(0/+1-x22=34, 当且仅当x=1一x,即x=12时取等号. 答案A 3.已知x,y∈(0，+∞)，且y=100,则x十y的最小值为 解析x+y≥2y=20,当且仅当x=y=10时取“=”. 答案20 4.若x>0,y>0,且x+4y=1,则y的最大值为 解析1=x+4y≥24y=4y, y≤116，当且仅当x=4y=12时等号成立. 答案116 /课堂案关键能力·互动探究 /见规律·悟方法·嘉养提丹 题型一利用基本不等式求最值 例1(1)已知x>0,y>0,且x+y=8,则1+x)1+y)的最大值为) A.16 B.25 C.9 D.36 (2)已知函数y=2x十ax>0,a>0)在x=2时取得最小值，求a的值. (I)解析]解法一因为x>0,y>0,且x+y=8, 所以(1+x)1+y)=1+x+y+ =9+y≤9+avs4iaco1fe十y2)2=9+42=25, 因此当且仅当x=y=4时，(1+x)(1+y)取最大值25 解法二因为x>0,y>0,且x十y=8, (1+x)1+y)≤(1十x)+(1+y)2)2 ·独家授权侵权必究。 令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =lavs4alcol(f(2+x+y2))2=lalvs4lalcol(f(2+82))2=25, 因此当且仅当1+x=1十y即x=y=4时， (1+x)(1+y)取最大值25 [答案]B (2解析]因为x>0,a>0, 所以y=2x+m≥2a)=22a, 当且仅当2x=,即2x2=a时，y取得最小值. 又因为x=2,所以a=2×22=8 [规律方法]()应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时 具备，解答本题易漏掉等号成立的条件， (②)当多次使用均值不等式，或限定了某些量的取值范围时，会导致等号成立的条件不具 备，不能直接使用基本不等式，这时应进一步转化，使其能利用基本不等式或其他方法求解. (3)此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和 技巧性。常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等。 [触类旁通] 1.已知x<54,求函数y=4x一2十14红一5的最大值. 解析'x<54,∴.5-4x>