第3章 3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册苏教版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #3.2基本不等式ab≤a十b2(a,b≥0) 第1课时基本不等式 学业标准 素养目标 1,了解基本不等式的证明过程 1, 借助基本不等式的证明过程，培养直观想 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比 象、逻辑推理等核心素养 较代数式的大小。 2,通过求最值，提升逻辑推理、数学运算等 3.能利用基本不等式求简单函数的最值， 核心素养。 课前案必备知识·自主学习 /通数材·理桥知·系养初成 「教材梳理] 导学1基本不等式 间题当a,b是实数时，代数式a2+b2与2ab有大小关系吗？是不是恒成立的关系？ 提示：根据完全平方公式：(a-b)2≥0展开即可得到：a2+b2≥2ab,而且对一切实数a, b都成立. 同题2如果a>0,b>0,用a,b分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎 样的不等式？ 提示：a+b≥2ab 回题3不等式a2+b2≥2ab与ab≤a+b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ 提示：不同，a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R:ab≤a十b2成立的条件是a,b均为 正实数。 )同题9 a+b2≥ab与1avs4acol0fa十b2)2≥ab的等价的吗？ 提示：不等价，前者条件是a>0,b>0,后者a,b∈R ◎结论形成 1.概念：如果a>0,b>0,那么ab≤a十b2,当且仅当a=b时，等号成立.这 个不等式称为基本不等式，其中，a十b2叫作正数a,b的算术平均数，ab叫作正数 a,b的几何平均数. 2.文字叙述 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当两个正数相等时，两者相等， 3.几何背景 AB是圆O的直径，设AC=a,CB=b,过点C作CD⊥AB交半圆于点D,连接AD,BD, 易知△ACD∽△DCB,故CDCB=CACD,得CD=ab,而OD=a十b2,且CD≤OD, 所以ab≤a十b2 ◆独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 a地 导学2基本不等式的证明 洞题除了导学1中的几何背景，你会用其他方法证明基本不等式ab≤a十b2(a,b≥ 0)吗？ 提示：阅读课本P52,掌握用分析法、综合法证明基本不等式的方法。 结论形成 ab≤a+b2(a,b≥0)，ab≤a2+b22(a,b∈R),ab≤(a+b2)a,b∈R)(三个不等式都是 当且仅当a=b时，等号成立)，这三个不等式都可以直接使用. [基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2ab.() (2)若a>0,b>0,则ab≤as4alco1fa+b2)2.() (3)a,b同号时，ba+ab≥2.() (4)函数y=x+x的最小值是2.() 答案(1)√(2)√3)√(4)× 2.不等式%一2十(x一2)≥6（其中x>2)中等号成立的条件是(） A.x=3 B.x=-3 C.x=5 D.x=-5 解析由基本不等式知等号成立的条件为x一2=x一2，即x=5=一1舍去) 答案C 3.已知y=x十1x-2x<0),则y有() A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 解析，x<0, y=-(-x)十1(-x)》-2≤-2-2=-4. 当且仅当一x=1一x,即x=一1时取等号. 答案C 4.若x2+y2=4,则y的最大值为 解析y≤x2十y22=2,当且仅当x=y时取“=”」 答案2 ◆独家授权侵权必究· 令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 /课堂案关键能力·互动探究 /里规伊。俗方法·者养提开 题型一对基本不等式的理解 例山给出下面四个推导过程： ①，a,b为正实数，∴.ba十ab≥2bab=2: ②，aeR,a≠0，∴.4a十a≥24aa=4: ③，x,y∈R,y<0, ..xy=-bilc(rcvrc)) ≤-2 rcMre=-2 其中正确的推导为() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [解析]①，a,b为正实数，∴，ba,ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导 正确. ②，a∈R,a≠0，不符合基本不等式的条件， .4a十a≥24aa=4是错误的. ③由y<0,得y,x均为负数，但在推导过程中将整体y,x提出负号后， alvs4 alcol(一ay》,aws4 alcol(一f心x》均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确. [答案]B [规律方法](1)基本不等式a十+b2≥ab(a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关 系 (②)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 ①定理成立的条件是