2.2 基本不等式（讲+练，四大题型）-【划重点】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.2基本不等式 知识点一 重要不等式 ，当且仅当时，等号成立. 1、重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等式中，的取值既可以是某个具体的数，也可以是一个代数式. 2、使用重要不等式时应注意检验式子中是否成立. 知识点二 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 1、 基本不等式成立的条件是，这是易错点，审题时应重点关注. 2、 基本不等式可变形为. 3、 使用基本不等式时应注意检验式子中是否成立. 知识点三 不等式链 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 叫做的平方平均数，叫做的算术平均数，叫做的几何平均数，叫做的调和平均数. 题型一 运用基本不等式比较大小 例1、下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例2、（多选）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 变式训练1、如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 变式训练2、（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二 运用基本不等式证明不等关系 例1、若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2、已知a，b，c均为正实数，求证： (1)； (2)． 变式训练1、设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 变式训练2、已知a，b，c均为正实数. (1)求证：. (2)若，求证：. 题型三 运用基本不等式求最值 命题一：求积的最大值 例1、已知函数，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ 例2、已知，那么c的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 变式训练1、已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 变式训练2、已知，求的最大值 . 命题二：求和的最小值 例1、已知，则的最小值是 . 例2、已知，求函数的最小值； 变式训练1、设，则的最小值是 ． 变式训练2、已知，求的最小值． 命题三：“1”的常值代换 例1、已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2、若正实数x，y满足，求的最小值． 变式训练1、已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 变式训练2、已知，且，那么的最大值是 ，的最小值是 ． 命题四：条件等式求最值 例1、已知正数满足，求的取值范围． 例2、正数满足，则的最小值为 ． 变式训练1、已知实数满足，则的最大值为 ． 变式训练2、正实数满足，则的最小值为 . 题型四 基本不等式的应用 例1、过点作直线，若分别交轴、轴的正半轴与点设是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 例2、某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 吨． 变式训练1、经观测，某公路段在某时段内的车流量y（单位:千辆/时）与汽车的平均速度v（单位:千米/时）之间有如下关系.在该时段内，当汽车的平均速度为 千米/时时车流量最大，最大车流量为 千辆/时（精确到0.01）. 变式训练2、展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本） (2)当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润． 一、单选题 1．函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（　　） A．50 B． C． D．100 3．若，则的最小值为（　　） A．3 B．－3 C．4 D．－4 4．若，，称是，的几何平均数，是，的调和平均数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为1 C．若，则 D．若，则 8．若对任意，恒