第五章 5．5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #5.5.2简单的三角恒等变换 学业标准 素养目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的 1.通过三角恒等变换的学习，培养数学抽象、 三角恒等变换的基本思想 逻辑推理等核心素养 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、 2.借助三角公式进行求值、化简.提升逻辑 求值和证明。 推理、数学运算等核心素养。 第1课时简单的三角恒等变换（一） 丫课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新知·素养初成 [教材梳理] 导学 半角公式 同题面我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式。若用2 替换α，结果怎样？ [提示]结果是c0sa=2c0s2a2-1 =1-2sin2a2=cos2a2-sin2a2. 间题2根据上述结果.试用sin&.coso表示sina2.cosa2.tana2. [提示]c0s2a2=1+c05a2,∴.c0sa2=±1+c0sa2),同理sina2=±1-c0s a2). .'.tana2=a202=+1-cos al+cos a). ©结论形成 cos 2a 1-2sin2a cos 2a 2cos2a-1 (以a代替2a,以g代替a 2 cos a 1-2sin2 2 C08a= 2cos2 a -1 sin 1-cos a cos 2 2一士 1十c0sa 2 有理形式 无理形式 a sin a tan 2 1-cos a tan- a 1-cos a 1+cos a sin a 1-cos a [基础自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)半角公式对任意角都适用.() (2)c0sa2=1+cosa2).() ·独家授权侵权必究 亨学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)对干任意c∈R.sina2=12sina都不成立.( (4)sin 8q=2sin 6acos 2a.( 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2.已知cosa=15,ax∈alvs4\a小co1(1f(32).2m).则sina2等干(） A.10)5 B.-10)5 c.6)5 D.5)5 解折：o∈alvs4\al小co1(0f(3n2),2).∴.a2avs4\acol(f(3n4).n). sina2=1-c0sa2)=10)5 答案A 3.若co5a=-35,且o∈1a1vs4aco1(m,f32),则cosa2= 解析o∈1alvs4al小co1(m.f3n2).,.a2∈\a\vs41alco1(f(π3m4). ∴.c0sa2=-1+c0sa2)=-5)5 答案-5)5 4.计算：sin105°cos75°的值是 解折sin105°cos75°=sin(180°-75°)co575 =125in150°=14 答案14 y课堂案关键能力·互动探究 /觅规律·悟方法·素养提升 题型一求值问题 例山 已知cosa=13,a为第四象限角，求sina2.cosa2,tana2. [解析]sina2=±1-cosa2) =±1-\f132=±3)3 c05a2=±1+c05a2)=±1+1f132=±6)3， tana2=±1-c0sa1+cosa)=±1-1f(1313)=±2)2. 0为第四象限角，∴α2为第二、四象限角 当a2为第二象限角时. sina2=3)3.cosa2=-6)3.tana2=-2)2: 当a2为第四象限角时 sina2=-3)3,cosa2=6)3.tana2=-2)2 [规律方法] 已知三角函数式的值，求其他三角函数 式的值的一般思路 (1)先化简已知或所求式子： (2)观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）： (3)将已知条件代入所求式子，化简求值. [触类旁通] ·独家授权侵权必究 草学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.已知sina=-45,T<a<3n2.求sina2.co5a2.tana2的值 解析"T<<3m2.sina=-45, '.cosa=-35,且n2<a2<3m4 ..sina2=1-cos a2)=5)5. co5a2=-1+c05a2)=-5)5 tana2=q242=-2. 题型二三角函数式的化简（一题多变） 例☑化简：1rc1a2)2+2co5c(180°<c<360) [解析] 原式=rc\aar\rc\a2)2·2cos21fa2) =a\rc\a\rc\a2))\a\vs4\al\co1(2cos\f(a2)) =a2\a\vs4\al\co1(cos\f(a2)). 又180°<a<360°，.9