第五章 5．4.2 第1课时 周期性、奇偶性-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质 学业标准 素养目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．掌握函数y＝sin x、y＝cos x的周期性、奇偶性及对称性、单调性、最大值与最小值．(重点) 3．会求简单三角函数的周期、值域和最值；会判断简单三角函数的奇偶性．(重点) 4．能利用y＝sin x，y＝cos x的单调性比较三角函数值的大小．(重点) 5．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点) 1.通过正弦函数、余弦函数的性质的研究，培养数学抽象等核心素养． 2．借助正弦函数、余弦函数的性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 第1课时　周期性、奇偶性 [教材梳理] 导学1 正弦函数、余弦函数的周期性 　终边相同的角的三角函数值有什么关系？ [提示]　相等．即sin(2kπ＋x)＝sin x，cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)． 　正弦曲线具有什么特点？ [提示]　“周而复始”，每隔2π就重复一次． 　余弦曲线是否也具有上述特点？ [提示]　是． ◎结论形成 1．周期函数 条件 ①设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T ②对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2.最小正周期 条件 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 3.正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π. 导学2 正弦函数、余弦函数的奇偶性 　正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？ [提示]　正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称． 　诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x体现了函数的什么性质？ [提示]　奇偶性． ◎结论形成 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 1．对于y＝sin x，x∈R，恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y＝cos x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin＝sin，则是正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　) (2)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　) (3)因为sin(2x＋2π)＝sin 2x，所以函数y＝sin 2x的最小正周期为2π.(　　) (4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为(　　) A．4π　　　 B．2π　　　　 C．π　　　　 D. 解析　由题意T＝＝π，故选C. 答案　C 3．函数y＝sin是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析　因为y＝sin＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 答案　D 4．若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝3，则f(2)＝________. 答案　3 　求下列三角函数的周期． (1)y＝3sin x，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R； (3)y＝sin，x∈R； (4)y＝|cos x|，x∈R. [解析]　(1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x， 由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π. (2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x， 由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. (3)因为sin＝sin ＝sin， 由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π. (4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示， 由图象可知，y＝|cos x|的周期为π. [规律方法] 求函数最小正周期的常用方法 (1)公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝求得； (2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期． [触类旁通] 1．求下列函数的最小正周期． (1)y＝sin； (2)y＝. 解析　(1)∵sin ＝sin＝sin. ∴自变量x至少要增加到x＋，函数y＝sin，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sin，x∈R的最小正周期是. (2)∵函数y＝cos的最小正周期为π，且函数y＝的图象是将函数y＝cos的图象在x轴下方的部分对折