第五章 5．2.2 同角三角函数的基本关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#5.2.2　同角三角函数的基本关系 学业标准 素养目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系．(重点) 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．(重点、难点) 1.通过推导同角三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养． 2.借助同角三角函数基本关系的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1 同角三角函数的基本关系 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，＝tan α. 　能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？ [提示]　能，由x2＋y2＝1，得cos2α＋sin2α＝1. 由＝tan α，得＝tan α. 　上面两个关系式对任意角都成立吗？ [提示]　对使三角函数有意义的任意角都成立． ◎结论形成 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tan α＝. 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tan α＝的变形公式： sin α＝cos_αtan_α；cos α＝. 导学2 2sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 　利用sin2α＋cos2α＝1，你能否发现(sin α＋cos α)2与sin αcos α的关系？能否用sin αcos α表示sin α－cos α？ 提示　(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2. ◎结论形成 (sin α＋cos α)2 ＋(sin α－cos α)2＝2. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin24α＋cos24α＝1都成立．(　　) (2)对任意角α，＝tan都成立．(　　) (3)存在角α，β有sin2α＋cos2β＝1.(　　) (4)若sin x＝a，则cos x的值一定有二个．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　) A. 　 　 B．－　 　 C.　 　 D．－ 解析　由题意可得sin α＝＝， ∴tan α＝＝－. 答案　B 3．已知sin α＝，tan α＝－，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由sin α＝>0，tan α＝－<0， 可知α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－. 答案　A 4．若＝－1，则tan α＝________. 解析　原式可化为＝－1.则tan α＝2. 答案　2 　(1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于(　　) A.　　 B．－　　　 C.　　　 D．－ (2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________. [解析]　(1)∵α为第三象限角， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝. (2)∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝， 即2sin αcos α＝－<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈， 故sin α－cos α＝ ＝， 可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. [答案]　(1)C　(2)－ [规律方法] 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解： (2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化． [触类旁通] 1．已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解析　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝ ＝ ＝， tan α＝＝＝－. (2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－＝－，tan α＝. 综上，sin α＝，tan α＝－或sin α＝－，tan α＝. 　(1)已知tan α＝2，求. (2)已知＝，求sin αcos α的值． [解析]　(1)＝＝－. (2)解法一　由＝得cos α＋2sin α＝15cos α－5sin α，即sin α＝2cos α， ∴sin αcos α＝＝＝. 解法二　由解法一中sin α＝2cos α可得tan α＝2， ∴sin αcos α＝＝＝. [母题变式] 本例(1)的条件不变，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值． 解析　2sin