第四章 4．5.3 函数模型的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#4.5.3　函数模型的应用 学业标准 素养目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(难点) 通过构建数学模型解决实际问题，培养数学建模、数据分析等核心素养. [教材梳理] 导学 函数模型的应用 　我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ (1)应用题中建立函数模型关键是确定哪两个要素？ [提示]　定义域和对应关系． (2)根据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？ [提示]　主要依据函数的单调性及增长速度的快慢． ◎结论形成 1．几种常用的函数模型 常用函数模型 一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a＞0且a≠1) 幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 分段函数模型 y＝ 2.用函数模型解应用问题的四个步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函数．(　　) (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为.(　　) (3)函数y＝·2x－10随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快．(　　) (4)自建函数模型解决的问题一定是准确无误的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析　分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后4×2＝23(个)……分裂x次后y＝2x＋1(个)． 答案　D 3．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　　) A．14 400亩 B．172 800亩 C．17 280亩 D．20 736亩 解析　设第x年造林y亩，则y＝10 000(1＋20%)x－1，所以x＝4时，y＝10 000×1.23＝17 280(亩)． 答案　C 4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 解析　将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 答案　A 角度1　指数函数模型的应用 　某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数y(万人)与经过年数x(年)的函数关系； (2)计算10年后该城市的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． [解析]　(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)， 2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3， …… x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)． (2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)设x年后人口将达到120万人， 即可得到100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012＝log1.0121.2＝≈15.28. 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人． [解题策略] 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利润、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 角度2　对数函数模型的应用 　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是鱼的耗氧量的单位数． (1)当一