第四章 4．5.2 用二分法求方程的近似解-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#4.5.2　用二分法求方程的近似解 学业标准 素养目标 1.理解二分法的操作步骤与思想．(重点) 2．能够用二分法求方程的近似解．(重点) 1.通过二分法概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助二分法求方程的近似解，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1 二分法的定义 　在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800～1 200元之间的一款手机，选手开始报价： 选手：1 000. 主持人：低了． 选手：1 100. 主持人：高了． 选手：1 050. 主持人：祝贺你，答对了． (1)主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？ (2)选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？ [提示]　(1)(1 000,1 200]． (2)报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值． ◎结论形成 二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 导学2 二分法求方程近似解的步骤 　在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？ [提示]　竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间[a，b]；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若c＞x，则在区间(a，c)内竞猜；若c＜x，则在区间(c，b)内竞猜；(4)依此类推，直到猜出原价x. ◎结论形成 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 　当区间(a，b)的长度达到精确度时，如何确定零点的近似值？ [提示]　当区间长度达到精确度时，除可用区间的端点代替近似值外，也可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 　“精确度”与“精确到”是一回事吗？ [提示]　不是一回事，这里所谓的“精确度”是指区间的长度达到某个规定的数值ε，即|a－b|＜ε.而“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算1－精确到0.01，即为0.33. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　) (2)精确度ε就是近似值．(　　) (3)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　) (4)在一定精确度下，近似值是唯一的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 答案　A 3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.1)为(　　) A．1.2　　 B．1.3　　　 C．1.4　　　 D．1.5 解析　∵f(1.375)＝－0.260＜0，f(1.438)＝0.165＞0，又1.438－1.375＝0.063＜0.1， ∴故近似根为1.4. 答案　C 4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　) A．(1,1.25)　　　　　 B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定 解析　由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，∴f(1.25)·f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25，1.5)内，故选B. 答案　B 　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) (2)用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间的中点2，则下一个存在零点的区间为(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(0,2) C．(2,3) D．(2,4) [解析]　(1)根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连