第四章 4．5.1 函数的零点与方程的解-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#4．5.1　函数的零点与方程的解 学业标准 素养目标 1.理解函数零点的定义，理解函数的零点与方程实数解的关系，会求函数的零点．(重点) 2．掌握函数零点存在定理，会判断函数零点的个数．(重点、难点) 1.通过函数零点的概念与求解，培养数学抽象、数学建模等核心素养． 2．借助函数零点个数的判断，培养直观想象、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1 函数的零点 　已知函数f(x)＝2x＋6. (1)求方程f(x)＝0的解； (2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标； (3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系？ [提示]　(1)由2x＋6＝0，解得x＝－3. (2)交点坐标A(－3,0)． (3)相等． ◎结论形成 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点与方程解的等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 导学2 函数零点存在定理 　观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现这个二次函数在区间[－2,1]上有零点x＝－1，而f(－2)＞0，f(1)＜0，即f(－2)·f(1)＜0.二次函数在区间[2,4]上有零点x＝3，而f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)·f(4)＜0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ [提示]　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． ◎结论形成 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 　反过来，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)＜0是否一定成立？ [提示]　不一定成立，由二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图象可知． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点．(　　) (2)任何函数都有零点．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上满足f(a)f(b)＞0，则函数无零点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是(　　) A．(－1,0)　　　　 B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析　因为f(2)＝8－6－3＝－1＜0，f(3)＝27－9－3＝15＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以D正确． 答案　D 3．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________． 解析　f(x)＝－2x＋m的零点为4， 所以－2×4＋m＝0，m＝8. 答案　8 4．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1. 答案　(－∞，1) 　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点． (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x； (3)f(x)＝4x－16； (4)f(x)＝ [解析]　(1)令－8x2＋7x＋1＝0， 解得x＝－或x＝1. 所以函数的零点为－，1. (2)令1＋log3x＝0，即log3x＝－1，解得x＝. 所以函数的零点为. (3)令4x－16＝0，即4x＝42，解得x＝2. 所以函数的零点为2. (4)当x≤0时，由f(x)＝0，即x2＋3x－4＝0，也就是(x－1)(x＋4)＝0，解得x＝1或x＝－4.因为x≤0，所以x＝－4； 当x＞0时，由f(x)＝0，即－1＋ln x＝0， 解得x＝e，满足x＞0. 所以函数的零点为－4和e. [方法技巧] 函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [触类旁通] 1．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则函数y＝logn(mx＋1)的零点为________． 解析　由题意知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的实根． 所以有解得 所以函