第四章 4.4 第4课时 不同函数增长的差异-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#第4课时　不同函数增长的差异 [教材梳理] 导学 一次函数、指数函数、对数函数增长的比较 下图是同一直角坐标系中，三个函数y＝2x，y＝2x，y＝log2x的图象． (1)如图，当log2x＜2x＜2x时，x的范围是什么？ (2)如图，当log2x＜2x＜2x时，x的范围是什么？ (3)从三种函数图象的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？ [提示]　(1)1＜x＜2. (2)0＜x＜1或x＞2. (3)y＝2x快速增长，呈爆炸性增长，而y＝2x增长速度不变，呈直线增长，而y＝log2x的增长速度越来越慢． ◎结论形成 函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大逐 渐趋于稳定　 随x的增大 匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞kx＞logax [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　) (2)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　) (3)当a>1，k>0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logax<kx<ax.(　　) (4)函数y＝x的衰减速度越来越慢．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　 　 　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 答案　A 3．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为(　　) A．8 ℃ B．78 ℃ C．112 ℃ D．18 ℃ 解析　T(3)＝27－9＋60＝78，故选B. 答案　B 4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　) A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b 解析　由散点图和四个函数的特征可知， 可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c. 答案　B 　(1)下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝1.1x　　　　　　 B．y＝2 023x2 C．y＝log2 023x D．y＝2 023x (2)四个因变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． [解析]　(1)比较一次函数、指数函数与对数函数、二次函数可知，指数函数增长速度最快． (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． [答案]　(1)A　(2)y2 [方法技巧] 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增长，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称之为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． [触类旁通] 1．当x∈(1，e)时，试探究三个函数y＝3x，y＝ln x，y＝x的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为________． 解析　当x∈(1，e)时，3x＞3＞x＞＞1＞ln x，故3x＞x＞ln x. 答案　3x＞x＞ln x 　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 023)，g(2 023)的大小． [解析]　(1)C1对应的函数为g(