第四章 4.4 第2课时 对数函数及其性质的应用(一)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#第2课时　对数函数及其性质的应用(一) [教材梳理] 导学 对数函数的图象和性质 　根据列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和的图象． x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝log2x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 … [提示]　描点、连线．如图所示． 　通过观察函数y＝log2x和的图象，分析性质，并完成下表． 函数 y＝log2x y＝logx 定义域 (0，＋∞) (0，＋∞) 值域 R R 单调性 增函数 减函数 最值 无最值 无最值 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 特殊点 (1,0) (1,0) y的变化情况 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 对称性 y＝log2x和的图象关于x轴对称 ◎结论形成 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点(1,0)，即loga1＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 趋势 a值越大图象越靠近x，y轴 a值越小图象越靠近x，y轴 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)．(　　) (2)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．(　　) (3)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象．(　　) (4)若loga2＞loga3，则0＜a＜1.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在同一坐标系中，函数y＝x与y＝log2x的图象大致是(　　) 解析　由于y＝x中的底数0＜＜1，所以为减函数，所以排除B，C，由于y＝log2x中的底数2＞1，所以为增函数，所以排除D. 答案　A 3．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为(　　) A．(2，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)． 答案　C 4．函数y＝loga(x－1)－1的图象过定点________． 解析　∵令x－1＝1，则x＝2，y＝－1，∴该函数过定点(2，－1)． 答案　(2，－1) 　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0＜a＜b＜1　　　　　 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1 (2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________. [解析]　(1)作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1. (2)∵函数的图象恒过定点(3,2)， ∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c， 得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， ∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2. [答案]　(1)B　(2)－2　2 [规律方法] 对数函数图象的特点 (1)研究对数函数图象时，应注意底数a的范围，若判断底数不同的对数函数的图象，可在x轴上方画一水平直线，自左向右底数增大． (2)对数型函数过定点问题，可令真数为1，求出定点． [触类旁通] 1．(1)(多选)已知a＞0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图象可能是(　　) (2)函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________． 解析　(1)若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象单调递减且过点(0,1)，函数y＝logax的图象单调递减且过点(1,0)；若a＞1，则函数y＝ax的图象单调递增且过点(0,1)，而函数y＝logax的图象单调递增且过点(1,0)，只有A，C中图象符合． (2)由2x－5＝1得x＝3，则f(3)＝loga1＝0， 即函数f(x)恒过定点(3,0)． 答案　(1)AC　(2)(3,0) 　比较下列各组值的大小． (1) log5 与log5 ； (3) loga3.1 与loga5.2 (a>0，且a≠1 )． [解析]