第四章 4．3.2 对数的运算-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#4.3.2　对数的运算 学业标准 素养目标 1.会推导对数的运算性质． 2．掌握对数的运算性质，并会化简、求值．(重点、难点) 3．会用换底公式进行对数运算．(重点) 1.通过推导对数的运算性质、换底公式，培养逻辑推理等核心素养． 2．借助对数的运算，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1 对数的运算性质 　指数的运算法则有哪些？ [提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. 　(1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题2的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)？还能得到什么结论？ [提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n，所以am＝M，an＝N，故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n. ◎结论形成 对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 　若MN>0，运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaN还成立吗？ [提示]　不一定成立．例如对于(－2)×(－3)>0， loga((－2)×(－3))≠loga(－2)＋loga(－3)， 因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． 导学2 换底公式 　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝，所以得出log35＝的结论． 　由问题1你能猜测出与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ [提示]　结论为＝logab. 证明如下：令＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒＝logab. ◎结论形成 对数换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． [拓展] 对数换底公式的常用的推论 (1)logab·logba＝1⇔logab＝； (2)loganMm＝logaM. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)loga(xy)＝logax·logay(x，y＞0)．(　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　) (4)loga＝logax－logay(x，y＞0)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若lg 2＝m，则lg 5＝(　　) A．m　　　　　　　　 B． C．1－m D． 解析　因为lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝1. 所以lg 5＝1－lg 2＝1－m. 答案　C 3．2log510－log54＝________. 解析　2log510－log54＝log5102－log54 ＝log5＝log525＝2. 答案　2 4．log23·log34＝________. 解析　log23·log34＝·＝＝2. 答案　2 　计算下列各式的值． (1)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (2). [解析]　(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)原式＝ ＝＝＝. [方法技巧] 底数相同的对数式的化简和求值的方法 (1)“收”，将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数“拆”成同底的两对数的和(差)． [触类旁通] 1．计算下列各式的值． (1)2log23－log2＋log27－7log72； (2)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)． 解析　(1)原式＝log29－log2＋log27－2＝log2－2＝3－2＝1. (2)原式＝log33＋lg(25×4)－log24＝＋lg 100－log222＝＋2－2＝. 　已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示) [解析]　解法一　因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝ ＝＝. 解法二　因为＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18， 同理得lg 5＝blg 18， 所以log3645＝＝＝ ＝＝. [母题变式] 1．若本例条件不变，如何求log1845(用a