第四章 4.2 第2课时 指数函数的图象和性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#第2课时　指数函数的图象和性质的应用 [教材梳理] 导学 指数函数图象间的关系 　对于函数y＝ax和y＝bx：当a>b>0(a≠1，且b≠1)时，对一个实数x0，什么时候ax0>bx0？什么时候ax0<bx0？什么时候ax0＝bx0? [提示]　由图象可知：①当a>b>1时，x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0. ②当1>a>b>0时，x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 综上可知：对a>b>0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，ax0>bx0；x0∈(－∞，0)，ax0<bx0；x0＝0，ax0＝bx0. 　观察同一平面直角坐标系中函数①y＝x；②y＝x；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？ [提示]　函数y＝x与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝x与y＝3x的图象关于y轴对称． ◎结论形成 一般地，指数函数y＝ax和y＝x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(　　) (1)1.51.5＞1.52.(　　) (2)0.52＜0.53.(　　) (3)e2＜e.(　　) (4)0.90.2＞0.90.5.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列大小关系正确的是(　　) A．0.93＜30.9＜π0 B．0.93＜π0＜30.9 C．30.9＜0.93＜π0 D．π0＜30.9＜0.93 解析　因为π0＝1,0.93＜1,30.9＞30＝1， 所以0.93＜π0＜30.9. 答案　B 3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B． C．(－∞，1) D． 解析　函数y＝x在R上为减函数， 所以2a＋1＞3－2a，所以a＞. 答案　B 4．三个数中，最大的是______，最小的是________． 解析　因为函数y＝x在R上是减函数， 所以， 又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方， 答案　 角度1　比较大小 　比较下列各组数的大小． (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1. [解析]　(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5＞1， 所以函数y＝1.5x在R上是增函数， 因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2. (2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为0＜0.6＜1， 所以函数y＝0.6x在R上是减函数， 因为－1.2＞－1.5，所以0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1,0.92.1＜0.90＝1，所以1.70.2＞0.92.1. 角度2　解简单指数不等式 　(1)不等式3x－2＞1的解集为________． (2)若ax＋1＞5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围． (1)[解析]　3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)． [答案]　(2，＋∞) (2)[解析]　因为ax＋1＞5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3； 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3. 综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)； 当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)． [方法技巧] 比较幂值大小的三种类型及处理方法 [提醒]　解简单的指数不等式往往先化成af(x)＞ag(x)的形式，若a的取值不确定，需分类讨论． [触类旁通] 1．(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝－2.5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　　 B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c (2)不等式的解集为(　　) A．[－1,3] B．[－3，－1] C．[－3,1] D．[1,3] (3)若ax2＋2＞a3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围． (1)解析　因为a＝20.3，c＝－2.5＝22.5， 所以c＞a＞1. 又因为b＝0.32＜1，所以c＞a＞b，故选D. 答案　D (2)解析　 ∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，∴不等式的解集为[－3,1]． 答案　C (3)解析　当a>1时，原不等式等价为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1； 当0<a<1时，原不等式等价为x2－3x＋2<0， 解得1<x<2. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋