第四章 4.2 第1课时 指数函数的概念、图象和性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

#　指数函数 学业标准 素养目标 1.理解指数函数的概念，能作出指数函数的简图． 2．掌握指数函数的性质，并能解决与其有关的定义域、值域等问题． 3．能利用指数函数的图象和性质比较大小，解不等式． 4．会解决与指数增长(衰减)型有关的实际问题. 1.通过指数函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助指数函数图象与性质的学习，提升直观想象等核心素养． 3．通过指数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养. 第1课时　指数函数的概念、图象和性质 [教材梳理] 导学1 指数函数的概念 　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系？ (2)上述对应关系是函数关系吗？为什么？ [提示]　(1)y＝2x，x∈N＋. (2)是．符合函数的定义． ◎结论形成 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数是自变量x，定义域是R. 导学2 指数函数的图象与性质 　分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝x的图象及y＝3x与y＝x的图象，并回答下列问题： (1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ [提示]　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数． (2)图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ [提示]　不论底数a>1还是0<a<1，图象都过定点(0,1)． (3)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) [提示]　定义域为R，值域为{y|y>0}，过(0,1)点，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数． ◎结论形成 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 奇偶性 非奇非偶函数 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝ax＋2是指数函数．(　　) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　) (4)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 解析　y＝2－x＝x，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B. 答案　B 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则函数的解析式为________． 解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 因为图象经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4. 因为a>0且a≠1，得a＝2， 即函数的解析式为f(x)＝2x. 答案　f(x)＝2x 4．函数y＝4x＋2的值域是________． 解析　∵当x∈R,4x>0，∴y>2， 即值域为(2，＋∞)． 答案　(2，＋∞) 　(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 (2)已知函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则实数a的值为________． [解析]　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数； ⑤中，底数－2＜0，故⑤不是指数函数． (2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数， 可得解得 故a＝2. [答案]　(1)B　(2)2 [反思提升] 指数函数是一个形式定义，其特征如下： [触类旁通] 1．(1)(多选)下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝52x B．y＝－4x C．y＝x3 D．y＝(6a－3)x (2)已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝________. 解析　(1)根据指数函数的定义知y＝52x＝25x，y＝(6a－3)x是指数函数．y＝x3是幂函数，y＝－4x不是指数函数． (2)函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数， ∴解得a＝1. 答案　(1)AD　(2)1