第四章 4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教B版(教师用书)

#4．2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 学业标准 素养目标 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过离散型随机变量的均值的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量均值的应用，提升逻辑推理、数学运算核心素养． [教材梳理] 导学　离散型随机变量的均值 　某商贩有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg. (1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？ (2)X取上述值的对应的概率分别是多少？ (3)12个西瓜的平均质量该如何求？ [提示]　(1)X＝5，6，7. (2)，，. (3)＝5×＋6×＋7×＝(kg). ◎结论形成 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ipi__为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)意义：离散型随机变量x的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的__平均取值__．在离散型随机变量X的分布列的直观图中，E(X)处于平衡位置． (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__． 2．两点分布、二项分布、超几何分布的均值 (1)若X服从参数P两点分布，则E(X)＝__P__． (2)若X服从参数n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝__np__． (3)若X服从参数N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝____． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平．(　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则F(2X)＝4.(　　) (4)随机变量X的均值E(X)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是(　　) A．2　　　　　　　 B．2.1 C．2.3 D．随m的变化而变化 解析　由0.2＋0.5＋m＝1得m＝0.3， ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1，故选B. 答案　B 3．已知X～B，则E(2X＋3)＝____________． 解析　E(X)＝100×＝50， E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103. 答案　103 4．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3个进行检验，若以X表示取出次品的个数．则随机变量X的均值为________． 解析　由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝12，M＝2，n＝3， 则E(X)＝＝＝. 答案　 题型一　离散型随机变量的均值公式及性质题点多探　一题多解 角度1　离散型随机变量的均值公式及性质 　已知随机变量X的分布列如下． X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y). [解析]　(1)由随机变量分布列的性质， 得＋＋＋m＋＝1， 解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)法一(公式法)　由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 法二(直接法)　由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. [规律方法] (1)该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解． (2)对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便． 角度2　离散型随机变量的均值意义的应用 　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加