第四章 4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教B版(教师用书)

#4．2.1　随机变量及其与事件的联系 学业标准 素养目标 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点) 2．了解随机变量与事件的联系．(易混点) 3．利用随机变量之间的关系求随机变量表示的事件概率． 1．通过学习随机变量及离散型随机变量的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量表示事件及事件概率的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　随机变量的概念 　抛一枚均匀的骰子，样本空间为Ω，设朝上的点数为X. (1)用列举法写出样本空间； (2)写出X的取值范围； (3)X≥5表示什么事件？ [提示]　(1)Ω＝{1，2，3，4，5，6}． (2)X的取值范围{1，2，3，4，5，6}． (3)X≥5表示朝上的点数为5，6中的某一个． ◎结论形成 1．随机变量及表示：如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的__每一个样本点__，变量X都对应有__唯一确定__的实数值，就称X为一个随机变量，随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写的希腊字母ξ，η，ζ，…表示． 2．随机变量的取值范围：随机变量__所有可能的取值组成的集合__，称为这个随机变量的取值范围． 随机变量的取值由随机试验的结果决定． 3．随机变量表示事件及事件的概率： 如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b__互斥__； (2)事件X≤a与X>a相互对立，因此__P(X≤a)＋P(X>a)＝1__． 4．离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值，都是可以__一一列举出来的__，它们都是离散型的随机变量．与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含__一个区间__． [拓展]　 1．随机变量可将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可以用数来表示，如掷一枚硬币，X＝0表示正面向上，X＝1表示反面向上． 2．试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量的不同取值对应着试验的不同结果，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，这些数是预先知道的可能值，但不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源． 导学2　随机变量之间的关系 　(1)X是一个随机变量，那么Y＝10X是随机变量吗？ [提示]　是． (2)X的取值范围是{0，1，2，3，…，50}，Y的取值范围是多少？ [提示]　{0，10，20，30，…，500}． ◎结论形成 　如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此，P(X＝t)＝__P(Y＝at＋b)__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　　) (4)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　) 解析　(1)×　离散型随机变量的取值，是指试验结果对应的实数，而不是任意的实数． (2)√　因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个． (3)×　由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是任意的实数的说法错误． (4)√　因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1，2，3，…，6　　　 B．1，2，3，4，5，6，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，4，5 解析　由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1，2，3，…，7，故选B. 答案　B 3．下列随机变量不是离散型随机变量的是____________． ①某景点一天的游客数X； ②某手机一天内收到呼叫次数X； ③水文站观测到江水的水位数X； ④某收费站一天内通过的汽车车辆数X. 解析　①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量． 答案　③ 4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为____________． 解析　甲可能在3