第四章 4.1.2 乘法公式与全概率公式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教B版(教师用书)

#4．1.2　乘法公式与全概率公式 学业标准 素养目标 1．理解乘法公式和全概率公式．(重点) 2．了解贝叶斯公式及其简单应用． 3．能利用乘法公式和全概率公式解决简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过乘法公式、全概率公式的推导，培养逻辑推理、数学抽象等核心素养． 2．通过乘法公式、全概率公式的实际应用，主要提升数学建模、数学运算、核心素养． [教材梳理] 导学1　乘法公式 　在P(B|A)，P(BA)，P(A)这三者中，如果已知P(A)与P(B|A)，能不能求出P(BA)? [提示]　能，P(BA)＝P(A)·P(B|A). ◎结论形成 乘法公式：由条件概率的计算公式 P(B|A)＝ 可知P(BA)＝__P(A)P(B|A)__． 这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出__A与B同时发生__的概率，这个结论称为乘法公式． [拓展]　若Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． 导学2　全概率公式 　甲乙两人参加抽奖，有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，乙中奖的概率是多少？ [提示]　设A表示甲中奖，B表示乙中奖，乙中奖分两种情况：甲中奖且乙中奖，甲没中奖且乙中奖，即B＝BA＋B. P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B) ＝＋＝. ◎结论形成 1．一般地，如果样本的空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而 P(B)＝P(BA＋B)＝__P(BA)＋P(B)__． 2．全概率公式 (1)特殊：当P(A)>0且P()>0时，由乘法公式有 P(BA)＝P(A)P(B|A)， P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝__P(A)P(B|A)＋P()P(B|)__，这称为全概率公式． (2)一般：定理1若样本空间Ω中的事件 A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，AiAj＝∅， i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)>0.i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝__(Ai)P(B|Ai)__，这个公式也称为全概率公式． [点睛]　全概率公式是“由原因推结果”即事件B发生(结果发生)的可能性与各种情形的“作用”大小有关． 导学3　贝叶斯公式 　某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率．或者问： 该球取自哪号箱的可能性最大？这种问题的实质是什么？ [提示]　这一类问题是“已知结果求原因”．在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小． ◎结论形成 　贝叶斯公式 (1)特殊：一般地，当1>P(A)>0，且P(B)>0时，有 P(A|B)＝ ＝____． (2)一般：定理2，若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即 AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③0＜P(Ai)＜1，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝____ ＝____． 上述公式也称为贝叶斯公式． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B同时发生的概率，等于事件A发生的概率与事件B发生的条件下事件A发生的概率的乘积．(　　) (2)若P(A)＞0，P()＞0，则P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|)(　　) (3)若A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＞0，P(A2)＞0，P(A3)＞0，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)(　　) (4)若A1∪A2∪A3＝Ω，且P(A1)＞0，P(A2)＞0，P(A3)＞0，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．若P(B|A)＝P(B)，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，则P(AB)＝(　　) A．0.018　　　　　 B．0.2 C．0.18 D．0.9 解析　由已知得P(B|A)＝P(B)＝0.3， ∵P(B|A)＝， ∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.3×0.6＝0.18. 答案　C 3．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)＝(　　) A． B． C． D． 解析　P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝， 由P(A|B)＝，得P