第四章 4.1.1 条件概率-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教B版(教师用书)

#4．1　条件概率与事件的独立性 4．1.1　条件概率 学业标准 素养目标 1．了解条件概率的概念．(重点) 2．掌握一些简单的条件概率的计算． 3．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过对条件概率的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过条件概率公式的实际应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　条件概率 　三张奖券中有一张能中奖，现在分别有三位同学无放回地抽取： (1)最后一名同学抽到中奖券的概率是多少？ (2)如果知道第一名同学没有抽到中奖的奖券，那么最后一名同学抽到中奖券的概率是多少？ [提示]　(1)；(2). ◎结论形成 1．条件概率的定义 当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记为__P(A|B)__． 2．条件概率公式 (1)当P(B)>0时，有P(A|B)＝____． (2)当P(A)>0时，有P(B|A)＝____． (3)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率． 3．条件概率的性质 设A，B，C都是事件且P(A)>0. (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝__1__； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝__P(B|A)＋P(C|A)__． [拓展]　从集合角度理解条件概率 如图，用单位矩形来表示样本空间Ω，用矩形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件的概率，设A，B是Ω的子集． 条件概率P(B|A)＝，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率．几何直观上，相当于B在A内的那部分AB在A中所占的比例. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(B|A)<P(AB).(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(A|A)＝0.(　　) (4)P(B|A)＝P(A|B).(　　) 解析　(1)×　因为P(B|A)＝≥P(AB)，所以P(B|A)<P(AB)是错误的． (2)√　由P(B|A)＝可知，事件A发生的条件下，事件B发生的概率，是AB发生的概率除以事件A发生的概率，所以事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生是正确的． (3)×　由条件概率的公式可知：P(A|A)＝＝＝1，所以P(A|A)＝0是错误的． (4)×　因为P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．但两者不一定相等，所以P(B|A)＝P(A|B)是错误的． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A．0.2　　　　　　　 B．0.33 C．0.5 D．0.6 解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2. 答案　A 3．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　) A． B． C． D． 解析　因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝. 答案　C 4．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为____________． 解析　记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才能取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 答案　 题型一　条件概率定义的理解及其应用 　(1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．P(A|B)≥P(AB) B．P(A|B)＝是可能的 C．P(AB)＝P(A)P(B) D．P(A|A)＝0 (2)将三颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于(　　) A.　　　　　　　 B． C． D． [解析]　(1)∵P(A|B)＝，0＜P(B)≤1， ∴P(A|B)≥P(AB)，故A正确； 当P(B)＝1时，P(AB)＝ P(A)，P(A|B)＝＝，故P(A|B)＝可能成立，故B正确； 当且仅当A与B相互独立时，P(AB)＝ P(A)P(B)成立，故C错误；P(A|A)＝1，故D错误．故选AB. (2)事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(A∩B)＝3×5×4＝60，所以