第四章 4.2.5 正态分布-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教B版(课时作业)

[必备知识·基础巩固] 1．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<1)＝(　　) A．0.2　　　 B．0.3　　　 C．0.4　　 D．0.6 解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)， ∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝1， 由P(ξ<4)＝0.9，得P(ξ>4)＝P(ξ<－2)＝0.1， 则P(－2<ξ<1)＝P(－2<ξ<4)＝×0.8＝0.4. 故选C. 答案　C 2．(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 解析　由正态分布的密度曲线图象可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0.4 kg，A正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0.8 kg，所以μ1<μ2，C正确；由甲类水果的正态密度曲线比乙类水果的正态密度曲线更凸起些，所以σ1<σ2，得出B正确；所以D错误． 答案　ABC 3．某工厂生产的零件外直径X(单位：cm)服从正态分布N(10，0.22)，现从该厂某日上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45 cm和9.35 cm，则可认为该日(　　) A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上午、下午生产情况均正常 D．上午、下午生产情况均异常 解析　由题意，根据3σ原则可得当μ－3σ≤X≤μ＋3σ，即10－3×0.2≤X≤10＋3×0.2时，即生产的零件外直径在[9.4，10.6]是正常的． 又从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45 cm和9.35 cm，9.4<9.45<10.6，9.35<9.4. 所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B. 答案　B 4．(多选题)对某地区数学考试成绩的数据进行分析，男生成绩X服从正态分布N(72，82)，女生成绩Y服从正态分布N(74，62)，下列叙述正确的是(　　) 参考数据： 若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)， 则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. A.女生平均成绩高于男生，男生成绩比较分散，女生成绩比较集中 B．女生中成绩在区间[68，80]内的人数大约占68.27% C．男生中成绩在区间[68，80]内的人数占比大于68.27% D．从参加此次考试的男生中任选一名，则他的成绩低于48分或高于96分的概率不足0.3% 解析　若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2，μ反映随机变量取值的平均水平，σ2反映随机变量的分布相对于均值的离散程度，σ2越小，分布越集中，故A正确：根据P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7可知，B正确，C错误；根据P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3可知，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，D正确． 答案　ABD 5．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． 解析　如图，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)， 故P(0＜X＜2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8. 答案　0.8 6．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是____________． 解析　μ＝10 000，σ＝400，P(9 200<X≤10 800) ＝P(10 000－2×400<X≤10 000＋2×400)＝95.4%. 答案　95.4% 7．某年级有1 000名学生，一次数学测试成绩ξ～N(105，102)，P(95≤ξ≤105)＝0.34，则P(ξ>115)＝____________；该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为____________． 解析　∵数学测试成绩ξ～N(105，102)， ∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝105， 又P(95≤ξ≤105)＝0.34，∴P(105≤ξ≤115)＝0.34， ∴P(ξ>115)＝0.5－0.34＝0.16， 则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为1 000×0.16＝160. 答案　0.16　160 8．(2022·长春月考)某制造企业租用一台3D打印设备，用于