专题08 空间向量基底法在立体几何问题中的应用4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题08 空间向量基底法在立体几何问题中的应用4种常见考法归类 空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模已知的向量，且三个向量间的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽. 纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种方便建系的考查方式让同学们习惯了空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败. 因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的 广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣. 一、 “三个”定理 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 二、空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． (1)线线平行： l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行： l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0. (3)面面平行： α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. (4)线线垂直： l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (5)线面垂直： l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1. (6)面面垂直： α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 三、空间距离及向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形语言 文字语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，＝a，向量在直线l上的投影向量为，则 PQ＝＝ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量是向量在平面上的投影向量， PQ＝＝ 四、空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 平行垂直问题 考点二 角度问题 考点三 距离问题 考点四 位置关系问题 考点一 平行垂直问题 1．（2023秋·全国·高二随堂练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点，设 ，，． (1)用，，表示； (2)求证：平面． 2．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：平面BCD. 3．（2023·全国·高二专题练习）如图，从所在平面外一点O作向量.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 4．（2023·全国·高二专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 5．（2023秋·高二课时练习）在四面体中，，．证明：． 6．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 7．（2023秋·广东广州·高二广州市第五中学校考期末）如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，． (1)用，，表示； (2)证明：． 8．（2023秋·北京大兴·高二统考期中）如图，在平行六面体