专题08 一次函数与几何综合的五种考法-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题08 一次函数与几何综合的五种考法 类型一、等腰三角形存在性问题 例．如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且．    (1)求直线的解析式； (2)点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 【变式训练1】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，点是射线上的动点，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连接． (1)当点在线段上时， ①求证：； ②若点为的中点，求的面积． (2)在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得成为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接． (1)求点、的坐标； (2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、直角三角形存在性问题 例．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．    (1)求点C的坐标： (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)直线的函数表达式． (2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例．如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接．    (1)如图1，求出的面积； (2)如图2，已知点C是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，， (1)求直线的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线右边第一象限内的动点． (1)①A的坐标是_____________ ②求直线的表达式； (2)点P是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 类型四、全等问题 例．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．    (1)点A坐标为________，点B坐标为________，线段的长为________； (2)当的面积是4时，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由． 【变式训练1】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． 【变式训练2】直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标． 【变式训练3】如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标； (3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、角度之间关系 例．已知：直线分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．    (1)如图1，若直线过，求． (2)如图2，点关于轴的对称点为，将线段沿轴正半轴移动到，直线交直线于点，直线交轴于点，求的值． (3)如图3，在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使得，若存在请求出点坐